红黑树插入详解

查找二叉树插入节点：

已知查找二叉树的性质为根节点的值大于左子树的值，小于右子树的值，按照此规律，根据要插入的值为其寻找合适的插入位置，最后将其插入即可：

Tree-Insert(T,z)
{
	x = root(T);
	y = NULL;
	while(x != NULL)
	{
		y = x;
		if(key[z] < key[x])
			x = left[x];
		else
			x = right[x];
	}
	p[z] = y;
	if(y == NULL)
		root[T] = z;
	else if(key[z] < key[y])
		left[y] = z;
	else
		right[y] = z;
}

红黑树插入节点：

红黑树插入节点类似于查找二叉树，但需要注意的是当新的节点插入红黑树时，可能会导致无法保持红黑树的性质，因此需对其进行修改。

通过函数RB-INSERT-FIXUP(T,z)使其保持红黑性质。

RB-Insert(T,z)
{
	x = root(T);
	y = nil[T];
	while(x != nil[T])
	{
		y = x;
		if(key[z] < key[x])
			x = left[x];
		else
			x = right[x];
	}
	p[z] = y;
	if(y == nil[T])
		root[T] = z;
	else if(key[z] < key[y])
		left[y] = z;
	else
		right[y] = z;
	left[z] = nil[T];
	right[z] = nil[T];
	color[z] = RED;
	RB-INSERT-FIXUP(T,z);
}

不同于之前查找二叉树的插入，红黑二叉树的插入过程中主要在最后几步与其有异：将插入节点的颜色置红，修补红黑树性质。

接下来分析，当新的节点插入时，打破了红黑树的哪些性质。

红黑树的性质为：

1.      每个节点或是红的，或是黑的。

2.      根节点是黑的

3.      叶节点是黑的

4.      如果一个节点是红的，则其两个儿子都是黑的

5.      对每个节点，从该节点到其子孙节点的所有路径上包含相同数目的黑节点

易知新节点的插入不会影响性质1、3、5

现在的问题为如何保持性质2和4。

当z插入红黑树时，考虑z的父节点，当父节点为黑色时，性质2和4仍能保持，因此现考虑while(color[p[z]] == RED)时，如何保持性质2和4。

插入z后有两种情况：z == left[p[z]]或z == right[p[z]]。这里首先考虑z == left[p[z]]。

已知color[p[z]] == RED ，则由红黑树性质4知，color[p[p[z]]]必为黑色。因为若p[z]的父节点为红色，则p[z]需为黑色，矛盾。而z的叔叔(设为y)颜色即可能是红色，也可能是黑色。若y为红色，为保持性质4，应将p[z]、y均设为黑色，p[p[z]]设为红色。之后让z = p[p[z]]，继续循环；若y为黑色，此时z有可能是p[z]的左子树或右子树。当z为右子树时，可执行以下步骤：z = p[z];LEFT-ROTATE(T,z)，可将其转变为z为左子树的情况。此时右旋p[z]，则p[p[z]]变成了p[z]的右子树，z仍为p的左子树。为保持红黑树性质，将p[z]置黑，p[z]的右子树置红。

最后，color[p[z]] != RED时，为保证性质2，color[root[T]] = BLACK；