leetcode_53题——Maximum Subarray（动态规划）

Maximum Subarray

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Question Solution

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [−2,1,−3,4,−1,2,1,−5,4],
the contiguous subarray [4,−1,2,1] has the largest sum = 6.

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Divide and Conquer Array Dynamic Programming

别人的思路是：

这道题，如果看过Mark Allen Weiss写的数据结构与算法分析一书，可以发现是第二章为了介绍算法的魅力，逐步从三次方的时间复杂度一直优化到线性时间复杂度的一个例子。有一点小区别，就是书中给的例子简化了，如果全为负数，则认为最大子序列和为0，所以有一点点出入，不过基本思路是完全一样的。

现在对线性时间解法做一下解释，属于一种DP问题。已知了前k个元素的最大子序列和为maxSub（已经被记录下来了），以及一个临时和sum，如果添加了第k+1这个元素，由于是连续子序列这个限制，所以如果k+1这个元素之前的和是小于0的，那么对于增大k+1这个元素从而去组成最大子序列是没有贡献的，所以可以把sum 置0。举个例子，-1， -2 ，4， -5， 7这里假定7为第k+1个元素，那么很明显可以看出，之前的sum = -5 + 4 =-1，那么这样对于7来说只会减少它，所以直接置sum = 0， 0 + 7才能得到正确的答案。再拓展这个数组， -1， -2， 4， -5， 7， 1 这里1之前的sum = 7 > 0，对于后面的1来组成最大子序列是有贡献的，所以sum = 7 + 1 =8。再注意一点，只要sum不减到负数，中间出现小于0的元素是没关系的，sum仍然可以继续累加。

利用动态规划的思想完成，时间复杂度为O(n)。已知0,..,k的最大和以后，0,...k+1的最大和为：

1）若sum[k]>=0,sum[k+1]=sum[k]+A[k+1]。

2）若sum[k]<0,sum[k+1]=A[k+1]。

自己的理解

这其中其实主要注意关键的一点是，在最长的序列和他需要的是连续的，而保持一个前面的0到k的最大值，这个一定包含了第k个值，这里我用了两个变量来维护最大值。即一个是0到k的最大值（不一定包含k），一个是0到k的最大值一定包含k，而第k+1计算的一定是在后面那个值上面计算。

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

int maxSubArray(vector<int>& nums){
	if(nums.empty())
		return 0;
	int len=nums.size();
	if(len==1)
		return nums[0];
	int sum0=nums[0];
	int sum1=nums[0];
	for(int i=1;i<len;i++)
	{
		if(sum1>=0)
			sum1=sum1+nums[i];
		else
			sum1=nums[i];
		if(sum1>sum0)
			sum0=sum1;
	}
	return sum0;
}

int main()
{
	int ary[9]={-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4};
	vector<int> vec(ary,ary+2);
	cout<<maxSubArray(vec)<<endl;
}