【BZOJ3168】[Heoi2013]钙铁锌硒维生素
Description
银河队选手名单出来了!小林,作为特聘的营养师,将负责银河队选手参加宇宙比赛的饮食。众所周知,前往宇宙的某个星球,通常要花费好长好长的时间,人体情况在这之间会发生变化,因此,需要根据每天的情况搭配伙食,来保证营养。小林把人体需要的营养分成了n种,这些营养包括但不限于铁,钙。他准备了2套厨师机器人,一套厨师机器人有n个,每个厨师机器人只会做一道菜,这道菜一斤能提供第i种营养xi微克。想要吃这道菜的时候,只要输入一个数,就能吃到对应数量的这道菜了。为防止摄入过量对身体造成的伤害,每个机器人还有防过量摄入药,只要输入一个数,就能生成一定剂量的药,吃了这些药,就能减少相当于食用对应数目的这道菜提供的营养。小林之所以准备2套厨师机器人,正是因为旅途漫漫,难以预计,也许某一个厨师机器人在途中坏掉,要是影响了银河队选手的身体,就不好了。因此,第2套厨师机器人被用来做第1套的备用。小林需要为每一个第1套厨师机器人选一个第2套厨师机器人作备份,使得当这个机器人坏掉时,用备份顶替,整套厨师机器人仍然能搭配出任何营养需求,而且,每个第2套厨师机器人只能当一个第1套厨师机器人的备份。
Input
第一行包含一个正整数n。
接下来n行,每行n个整数,表示第1套厨师机器人做的菜每一斤提供的每种营养。
再接下来n行,每行n个整数,表示第2套厨师机器人做的菜每一斤提供的每种营养。
1≤n≤300,所有出现的整数均非负,且不超过10,000。
Output
第一行是一个字符串,如果无法完成任务,输出“NIE”,否则输出“TAK”
并跟着n行,第i行表示第i个第1套机器人的备份是哪一个第2套机器人。
为了避免麻烦,如果有多种可能的答案,请给出字典序最小的那一组。
Sample Input
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
2 3 0
0 7 8
0 0 9
Sample Output
TAK
1
2
3
题解:要不是有大爷的题解我还真就不一定能看懂题意。。。
题目大意:给定一个n∗n的满秩矩阵A和一个n∗n的矩阵B,求一个字典序最小的1...n的排列a满足将任意一个Ai换成Bai后矩阵A仍然满秩。
是不是清晰多了?求这样的排列实际上是将A乘上一个矩阵C使得CA=B,C=AB-1。
求出来C后,我们改变思路,将用边i->j表示B中j号机器人能替换A中i号机器人,然后就得到了一个二分图,而CT正好是二分图的邻接矩阵,我们想求二分图的字典序最小的完美匹配。
一开始以为大爷做麻烦了,直接从后往前做一遍匈牙利算法就行,知道我看了Discuss。。。好吧还是要做两边,第一遍正常跑,第二遍贪心的选编号小的,并且要求后面的点不能影响前面的点。
这里依旧是做一下大爷博客的注释:
1.为什么是CA=B而不是AC=B???(我一开始也死活搞不懂)
因为每个机器人对应一个行向量,而我们想让A中的行向量对应B中另外一个行向量,这显然直接矩乘是不行的,但如果我们将A,B分别转置,就可以做到A中一个列向量对应B中另外一个列向量,然后就是ATC=BT(这里的C指的就是二分图的邻接矩阵),等价于CTA=B
2.不影响前面的交错环是什么鬼?(或者你认为我说的也不是那么清楚?)
直接说方法吧:在第二遍DFS的时候记录一下当前是从那个点开始去寻找增广路的,也就意味着编号比这个点小的点我们都不能影响。所以我们看一下B中的机器人所对应的A中的机器人的编号,如果编号<起始点,就不能更改;如果编号=起始点,而我们已经向让起始点和其它点匹配了,这个点就已经被闲置出来了,就可以更改;如果编号>起始点,那么我们继续寻找增广路就行了。
#include <cstdio> #include <cstring> #include <iostream> #include <cmath> #define mod 999911657 using namespace std; const double eps=1e-6; typedef long long ll; int n,ans; ll A[310][610],B[310][310],C[310][310]; int vis[310],from[310],to[310]; ll pm(ll x,ll y) { ll z=1; while(y) { if(y&1) z=z*x%mod; x=x*x%mod,y>>=1; } return z; } int rd() { int ret=0; char gc=getchar(); while(gc<‘0‘||gc>‘9‘) gc=getchar(); while(gc>=‘0‘&&gc<=‘9‘) ret=ret*10+gc-‘0‘,gc=getchar(); return ret; } int dfs1(int x) { for(int i=1;i<=n;i++) { if(C[i][x]&&!vis[i]) { vis[i]=1; if(!from[i]||dfs1(from[i])) { to[x]=i,from[i]=x; return 1; } } } return 0; } int dfs2(int x,int y) { for(int i=1;i<=n;i++) { if(C[i][x]&&!vis[i]) { vis[i]=1; if(from[i]==y||(from[i]>y&&dfs2(from[i],y))) { from[i]=x,to[x]=i; return 1; } } } return 0; } int main() { n=rd(); int i,j,k; for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) A[i][j]=rd(),A[i][j+n]=(i==j); for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) B[i][j]=rd(); ll t; for(i=1;i<=n;i++) { for(j=i;j<=n;j++) if(A[j][i]) { for(k=1;k<=2*n;k++) swap(A[i][k],A[j][k]); break; } t=pm(A[i][i],mod-2); for(k=i;k<=2*n;k++) A[i][k]=A[i][k]*t%mod; for(j=1;j<=n;j++) if(i!=j) { t=A[j][i]; for(k=1;k<=2*n;k++) A[j][k]=(A[j][k]-t*A[i][k]%mod+mod)%mod; } } for(i=1;i<=n;i++) for(j=1;j<=n;j++) for(k=1;k<=n;k++) C[i][j]=(C[i][j]+B[i][k]*A[k][j+n])%mod; for(i=1;i<=n;i++) { memset(vis,0,sizeof(vis)); ans+=dfs1(i); } if(ans<n) { printf("NIE"); return 0; } printf("TAK\n"); for(i=1;i<=n;i++) { memset(vis,0,sizeof(vis)); dfs2(i,i); } for(i=1;i<=n;i++) printf("%d\n",to[i]); return 0; }