（字符串）最长公共子序列（Longest-Common-Subsequence，LCS）

问题：

最长公共子序列就是寻找两个给定序列的子序列，该子序列在两个序列中以相同的顺序出现，但是不必要是连续的。

例如序列X=ABCBDAB，Y=BDCABA。序列BCA是X和Y的一个公共子序列，但是不是X和Y的最长公共子序列，子序列BCBA是X和Y的一个LCS，序列BDAB也是。

思路：

1、最简单的方法就是暴力枚举。

先列举X所有的子序列，然后检查是否为Y的子序列，并记录最长的子序列。当该方法复杂度太高，假设X的长度为m，则X的子序列个数为2^m，指数级的复杂度是不实际的。

2、动态规划思想。

设X=<x1,x2,…,xm>和Y=<y1,y2,…,yn>为两个序列，LCS(Xm,Yn)表示以X_m结尾的字符串和以Y_n结尾的字符串的一个最长公共子序列，可以看出

如果x_m=y_n，则LCS ( X_m,Y_n ) = x_m + LCS ( X_m-1,Y_n-1 )。

如果x_m!=y_n，则LCS( X_m,Y_n )= max{ LCS ( X_m-1, Y_n ), LCS ( X_m, Y_n-1 ) }

最长公共子序列长度：

状态转移方程：

初始状态：dp[i][j]=0 if i==0 || j==0

转移方程：dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  if (X[i-1]==Y[j-1])

　　　　　dp[i][j] = max ( dp[i-1][j], dp[i][j-1] )  if (X[i-1]!=Y[j-1])

最长公共子序列：

通过状态转移方程，可以逆推出最长子序列，如果x[i-1]==y[j-1] && dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+1，则x[i-1]为最长子序列的元素，否则如果x[i-1]==y[j-1] && dp[i-1][j]>dp[i][j-1]，则i--，否则j--，这样就得到一个倒序的最长子序列，具体见参考代码。

复杂度分析：

上述思路的时间复杂度为O(m*n)，空间复杂度也为O(m*n);

dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1  if (X[i-1]==Y[j-1])

dp[i][j] = max ( dp[i-1][j], dp[i][j-1] )  if (X[i-1]!=Y[j-1])

从状态转移方程可以看到，如果只求最长公共子序列长度的话，每一次转移的时候只与前一状态有关，因此空间复杂度可以从m*n降为2*n，只保存当前和前一状态，时间复杂度不变。

代码：

#include <iostream>
#include <vector>

using namespace std;

int LCS(char *str1,int len1,char *str2,int len2){
    // calculate length of LCS
    vector<vector<int> > dp(len1+1,vector<int>(len2+1,0));
    for(int i=0;i<=len1;i++){
        for(int j=0;j<=len2;j++){
            if(i==0 || j==0)
                dp[i][j]=0;
            else{
                if(str1[i-1]==str2[j-1])
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                else
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
            }
        }
    }
    // record the LCS
    int len=dp[len1][len2];
    char lcsArr[len];
    lcsArr[len]=‘\0‘;
    int i=len1,j=len2;
    while(i && j){
        if(str1[i-1]==str2[j-1] && dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+1){
            lcsArr[--len]=str1[i-1];
            i--;
            j--;
            }
        else if(str1[i-1]!=str2[j-1] && dp[i-1][j]>dp[i][j-1])
            i--;
        else
            j--;
    }

    cout<<"Length of LCS is: "<<len<<endl;
    cout<<"SubSequency of LCS is: "<<lcsArr<<endl;

    return dp[len1][len2];
}

int main()
{
    char str1[]="abcd";
    char str2[]="bd";
    int len1=sizeof(str1)/sizeof(str1[0])-1;
    int len2=sizeof(str2)/sizeof(str2[0])-1;
    cout << LCS(str1,len1,str2,len2) << endl;
    return 0;
}

int LCS2(char *str1,int len1,char *str2,int len2){
    // only to calculate length of LCS
    // reduce the space complexity from m*n to 2*n
    vector<vector<int> > dp(2,vector<int>(len2+1,0));
    int k;
    for(int i=0;i<=len1;i++){
        k=i&1;
        for(int j=0;j<=len2;j++){
            if(j==0)
                dp[k][j]=0;
            else{
                if(str1[i-1]==str2[j-1])
                    dp[k][j]=dp[1-k][j-1]+1;
                else
                    dp[k][j]=max(dp[1-k][j],dp[k][j-1]);
            }
        }
    }
    cout<<"Length of LCS is: "<<dp[k][len2]<<endl;

    return dp[k][len2];
}

运行结果：