gcd即最大公约数，lcm即最小公倍数。
首先给出a×b=gcd×lcm
证明：令gcd(a,b)=k,a=xk,b=yk,则a×b=x*y*k*k，而lcm=x*y*k，所以a*b=gcd*lcm。
所以求lcm可以先求gcd，而求gcd的方法就是辗转相除法，也叫做欧几里德算法，核心为gcd(m,n)=gcd(n,m%n)
证明：令 k=gcd(m,n),则 k|m 并且 k|n;
令 j=gcd(n, m mod n), 则j|n 并且 j|(m mod n);
对于m, 可以用n 表示为 m=pn+(m mod n);
由引理可知 j|m（其中 x=p,y=1）, 又 j|n，于是 j 是 m 和 n 的公约数（但不一定是最大的）;
因为 k 是 m 和 n 的最大公约数，所以必有 k≥j;
通过另一种表示形式：(m mod n)=m-pn,同理可得：
k|(m mod n),又k|n，于是 k 是 (m mod n) 和 n 的公约数（也不一定是最大的）;
同样由 j 是 n 和 (m mod n) 的最大公约数可以得到 j≥k;
由常识，得出结论 k=j,
即gcd(m,n) = gcd(n, m mod n) ，得证。
代码实现：
while循环：
1 LL gcd(LL a, LL b){
2 LL t;
3 while(b){
4 t = b;
5 b = a % b;
6 a = t;
7 }
8 return a;
9 }
递归：
1 LL gcd(LL a, LL b){
2 return b ? gcd(b, a%b) : a;
3 }
求lcm=a*b/gcd即可，但碰到一些恐怖的数据可能会溢出，应改成lcm=a/gcd*b。
最后给出一些公式：
gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b)
lcm(ka, kb) = k * lcm(a, b)
lcm(S/a, S/b) = S/gcd(a, b)
参考：https://www.cnblogs.com/ider/archive/2010/11/16/gcd_euclid.html
https://www.cnblogs.com/linyujun/p/5167914.html
原文地址：https://www.cnblogs.com/FrankChen831X/p/10526233.html