NOIP2001 一元三次方程求解[导数+牛顿迭代法]

题目描述

有形如：ax3+bx2+cx+d=0 这样的一个一元三次方程。给出该方程中各项的系数(a，b，c，d 均为实数)，并约定该方程存在三个不同实根(根的范围在-100至100之间)，且根与根之差的绝对值>=1。要求由小到大依次在同一行输出这三个实根(根与根之间留有空格)，并精确到小数点后2位。

提示：记方程f(x)=0，若存在2个数x1和x2，且x1<x2，f(x1)*f(x2)<0，则在(x1，x2)之间一定有一个根。

输入输出格式

输入格式：

一行，4个实数A，B，C，D。

输出格式：

一行，三个实根，并精确到小数点后2位。

输入输出样例

输入样例#1：

1 -5 -4 20

输出样例#1：

-2.00 2.00 5.00

数据规模太小，可以随便暴力

但为了证明我这几天微积分没白学，用一个高级的方法首先 f(x)=ax3+bx2+cx+d 求导得到 df/dx=3ax2+2bx+c求这个导数的零点(就是二次函数求根公式了)得到f(x)的最值点最值点组成的三个区间一定各有一个f(x)零点，使用牛顿迭代法求得这个零点即可牛顿迭代法就是不停的用一个点的切线拟合曲线，那个点的导数就是切线斜率

依次类推，可以得到求高次函数零点的一种迭代法：求n次函数零点，需要极值点来划分区间，也就需要求其导数(n-1次函数)的零点，依次迭代到n=2直接通过公式(当然n=3或4也可以)最后的复杂度依赖于求零点算法的复杂读貌似没有人发表过，那么就叫Candy迭代法吧不过这和三分法求极值相比有优势吗?

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//  main.cpp
//  一元三次方程
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#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;
const double eps=1e-3;
double a,b,c,d;
inline double f(double x){return ((a*x+b)*x+c)*x+d;}
inline double df(double x){return (3*a*x+2*b)*x+c;}
double sol(double l,double r){//printf("sol %lf %lf\n",l,r);
    int step=20;double x=(l+r)/2;
    while(step--){
        x=x-f(x)/df(x);
    }
    return x;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    scanf("%lf%lf%lf%lf",&a,&b,&c,&d);
    double p1=(-sqrt(b*b-3*a*c)-b)/(3*a),
    p2=(+sqrt(b*b-3*a*c)-b)/(3*a);
    printf("%.2f %.2f %.2f\n",sol(-100,p1),sol(p1,p2),sol(p2,100));
    return 0;
}