[问题2014S12] 解答

[问题2014S12]  解答

先证明一个简单的引理.

引理  设 B

为 n

阶半正定 Hermite 阵, α

为 n

维复列向量, 若 αˉˉTBα=0

, 则 Bα=0

.

引理的证明  由假设存在 n

阶复方阵 C

, 使得 B=CˉˉˉTC

, 从而

0=αˉˉTBα=αˉˉTCˉˉˉTCα=(Cα)ˉˉˉˉˉˉˉT(Cα).

因此 Cα=0

, 从而 Bα=CˉˉˉTCα=0

.  □

回到原题的证明.

任取 AB

的特征值 λ0∈C

以及对应的特征向量 0≠α∈Cn

, 即

ABα=λ0α.

上式两边同时左乘 BαˉˉˉˉˉT

, 则有

(Bα)ˉˉˉˉˉˉˉTA(Bα)=λ0αˉˉTBα.

若 αˉˉTBα=0

, 则由引理知 Bα=0

, 于是 λ0α=ABα=0

, 从而 λ0=0

, 结论成立. 若 αˉˉTBα≠0

, 则由 B

的半正定性知 αˉˉTBα>0

, 又由 A

的半正定性知 (Bα)ˉˉˉˉˉˉˉTA(Bα)≥0

, 从而

λ0=(Bα)ˉˉˉˉˉˉˉTA(Bα)αˉˉTBα≥0,

即结论也成立. 进一步, 若 A,B

都是正定阵, 由上面第二种情况的讨论马上知道 λ0>0

.  □

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