Description
很久很久以前，有一只神犇叫yzy;
很久很久之后，有一只蒟蒻叫lty;
Input
请你读入一个整数N;1<=N<=1E9,A、B模1E9+7;
Output
请你输出一个整数A=\sum_{i=1}^N{\mu (i^2)};
请你输出一个整数B=\sum_{i=1}^N{\varphi (i^2)};
Sample Input
1
Sample Output
1
1
正解：杜教筛。
第一问答案是$1$。
第二问，先给个结论：$\varphi (n^{2})=n\varphi (n)$，于是我们要求$F(n)=\sum_{i=1}^{n}i\varphi (i)$。
设$f(n)=n\varphi (n)$，考虑$f$与$id$函数的狄利克雷卷积，$id*f(n)=\sum_{d|n}id(d)f(\frac{n}{d})$
$id*f(n)=n\sum_{d|n}\varphi (\frac{n}{d})=n^{2}$，那么$\sum_{i=1}^{n}id*f(i)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
又$\sum_{i=1}^{n}id*f(i)=\sum_{i=1}^{n}\sum_{d|n}id(d)f(\frac{n}{d})=\sum_{ij\leq n}id(i)f(j)=\sum_{i=1}^{n}id(i)F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$
于是$F(n)=id(1)F(n)=\sum_{i=1}^{n}id*f(i)-\sum_{i=2}^{n}id(i)F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^{n}id(i)F(\left \lfloor \frac{n}{i} \right \rfloor)$
然后直接用杜教筛的套路：数论分块+记忆化搜索就行了。
1 //It is made by wfj_2048~
2 #include <algorithm>
3 #include <iostream>
4 #include <cstring>
5 #include <cstdlib>
6 #include <cstdio>
7 #include <vector>
8 #include <cmath>
9 #include <queue>
10 #include <stack>
11 #include <map>
12 #include <set>
13 #define rhl (1000000007)
14 #define N (3000010)
15 #define inf (1<<30)
16 #define il inline
17 #define RG register
18 #define ll long long
19 #define File(s) freopen(s".in","r",stdin),freopen(s".out","w",stdout)
20
21 using namespace std;
22
23 int vis[N],phi[N],prime[N],n,maxn,cnt;
24 ll f[N],In2,In6;
25
26 map <ll,ll> F,vi;
27
28 il int gi(){
29 RG int x=0,q=1; RG char ch=getchar();
30 while ((ch<‘0‘ || ch>‘9‘) && ch!=‘-‘) ch=getchar();
31 if (ch==‘-‘) q=-1,ch=getchar();
32 while (ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) x=x*10+ch-48,ch=getchar();
33 return q*x;
34 }
35
36 il ll qpow(RG ll a,RG ll b){
37 RG ll ans=1;
38 while (b){
39 if (b&1) ans=ans*a%rhl;
40 a=a*a%rhl,b>>=1;
41 }
42 return ans;
43 }
44
45 il void sieve(){
46 phi[1]=f[1]=1;
47 for (RG int i=2;i<=maxn;++i){
48 if (!vis[i]) prime[++cnt]=i,phi[i]=i-1;
49 for (RG int j=1,k;j<=cnt;++j){
50 k=i*prime[j]; if (k>maxn) break; vis[k]=1;
51 if (i%prime[j]) phi[k]=phi[i]*phi[prime[j]];
52 else{ phi[k]=phi[i]*prime[j]; break; }
53 }
54 }
55 for (RG int i=2;i<=maxn;++i) f[i]=(f[i-1]+(ll)i*(ll)phi[i])%rhl; return;
56 }
57
58 il ll du(RG ll n){
59 if (n<=maxn) return f[n]; if (vi[n]) return F[n];
60 RG ll ans=n*(n+1)%rhl*(2*n+1)%rhl*In6%rhl,pos; vi[n]=1;
61 for (RG ll i=2;i<=n;i=pos+1){
62 pos=n/(n/i);
63 ans-=(i+pos)*(pos-i+1)%rhl*du(n/i)%rhl*In2%rhl;
64 if (ans<0) ans+=rhl;
65 }
66 return F[n]=ans;
67 }
68
69 il void work(){
70 n=gi(),puts("1"),maxn=min(3000000,n),sieve();
71 In2=qpow(2,rhl-2),In6=qpow(6,rhl-2);
72 printf("%lld\n",du(n)); return;
73 }
74
75 int main(){
76 File("phi");
77 work();
78 return 0;
79 }