POJ 3761:Bubble Sort——组合数学

题目大意:众所周知冒泡排序算法多数情况下不能只扫描一遍就结束排序,而是要扫描好几遍。现在你的任务是求1~N的排列中,需要扫描K遍才能排好序的数列的个数模20100713。注意,不同于真正的冒泡排序算法,只要数列有序就立刻停止,而不用再检验一遍。

估计多数人都是找规律吧,先看出递推,然后求出通项……这个题只有找出通项公式才能通过,所以首先公布答案:

K!((K + 1) ^ (N - K) - K ^ (N - K))

好吧,现在让我们来证明一下。

首先定义函数d(x),对于1~N的一个排列,d(x)表示第x个数前面有多少个数字大于该数。

比如说对于3 2 4 1 5,有d(1) = 0,d(2) = 1,d(3) = 0,d(4) = 3,d(5) = 0。

现在我们来证明d(x)函数的两条性质:

(一)对于一个排列,对于所有x <= N,有d(x) = 0是这个排列是有序的充要条件。

如果存在1 <= i, j <= N,使得i < j,ai > aj,那么由于aj前面有ai大于它,故d(j) >= 1。而这与d(j) = 0矛盾,反之亦然。所以说命题成立。

(二)冒泡排序的每次扫描的结果是,对于非零的d(x)值,这个位置的d(x)会且只会减少1。

考虑某个非零的d(x)值。由于d(x) >= 1,所以必然存在整数i∈[1, x - 1],满足ai > ax。设m为a1, a2, ..., a(x -1)中的最大值,位置为i,则必有m > ax。那么,在扫描到a(x - 1)和ax的时候,由于前面的交换,必然有a(x - 1) = m。

原因是如果前面的交换将m交换到了a(x - 2)的位置,那么由于m > a(x - 1),那么ai必然能够被交换到a(x - 1)的位置。故由数学归纳法,只要m能够被交换到a(i + 1)即可。而在交换之前a(i - 1) < m,m与a(i - 1)不发生交换;同时必然有m > a(i + 1),m一定会被交换到a(i + 1),故该结论成立,从而扫描a(x - 1)和ax的时候a(x - 1) = m。

这时由于m > ax,m与ax之间要交换,交换的效果由于ax前面比ax小的数字减少了一个,d(x)减小了1。所以说d(x)在这个过程中必会减少。

而另一方面,完成了m与ax的这次交换之后,这一次扫描显然就不会再交换ax的值了(这时ax位置上的值已经是m了)。所以说,d(x)也只能减少1。这就证明完毕。

证明了d(x)函数的这个性质之后,我们就可以得出对于1~n的一个排列,它所需要的冒泡排序的扫描次数为

K = max (d(i), 1 <= i <= N)

而这个结论很显然,因为只有经过K次扫描,所有位置的d值才能都变为0。

到此,我们成功地将冒泡排序的次数问题转化为d(x)值满足条件的数列的问题。原问题也就转化成了有多少个排列使得其中最大的d(x)值恰好为K。然而这也是复杂的,所以说我们不妨先解决有多少个排列使得其中最大的d(x)值不大于K。

首先可以确定N >= K + 1,否则不可能出现某个位置前面有K个数大于它。

然后决定原数列中1的位置。显而易见,如果最小数的位置为x,则其d(x) = x - 1。而d(x) <= K,故x <= K + 1,也就是说1有K + 1种放置方法;而放置2的时候,我们完全可以考虑一个新的排列2~N,这时2有K + 1种放置方法,然后再把1插到位置1~K + 1,而不影响其它数的d值。所以说,前N - K个数的放置方法的种类有

(K + 1) ^ (N - K)

之后只需要考虑N - K + 1 ~ N的排列即可。然而,由于整个数列只有K个数字,不可能出现某个d值大于K + 1。所以说排列方法有K!种。故,所有位置d值不大于K的排列的方案数有

K!((K + 1) ^ (N - K))

但是这是不大于K的排列数量,恰好为K的有怎么办呢?很简单,只需要减去不大于K - 1的排列数量便可。所以最后的答案为

K!((K + 1) ^ (N - K)) - (K - 1)!(K ^ (N - K + 1))

化简之后我们就得到

K!((K + 1) ^ (N - K) - K ^ (N - K))

这就是原来的式子,它的正确性就证明完毕。

然后代码就是小意思了:

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
using namespace std;

const int mod = 20100713;

__int64 power (int k, int n)
{
    __int64 r = k, ans = 1;
    while (n)
    {
        if (n & 1) ans = (ans * r) % mod;
        r = (r * r) % mod;
        n >>= 1;
    } return ans;
}

__int64 factorial[1000010];

int main ()
{
    int t, n, k;
    __int64 ans;
    factorial[0] = 1;
    for (int i = 1; i < 1000010; i++)
        factorial[i] = (factorial[i - 1] * i) % mod;
    scanf("%d", &t);
    for (; t > 0; t--)
    {
        scanf("%d %d", &n, &k);
        n -= k;
        ans = (power(k + 1, n) - power(k, n)) % mod;
        if (ans < 0) ans += mod;
        ans = (ans * factorial[k]) % mod;
        printf("%I64d\n", ans);
    }
    return 0;
}

POJ 3761:Bubble Sort——组合数学,布布扣,bubuko.com

时间: 2024-10-17 00:18:29

POJ 3761:Bubble Sort——组合数学的相关文章

快速幂取模 POJ 3761 bubble sort

题目传送门 1 /* 2 题意:求冒泡排序扫描k次能排好序的全排列个数 3 数学:这里有一个反序列表的概念,bj表示在j左边,但大于j的个数.不多说了,我也是看网上的解题报告. 4 详细解释:http://blog.csdn.net/cscj2010/article/details/7820906 5 */ 6 #include <cstdio> 7 #include <algorithm> 8 #include <cstring> 9 #include <cma

POJ 3761 Bubble Sort 冒泡排序的扩展

给一个序列,如果经过k次冒泡能使其变为单增序列,则称该序列为k回合冒泡序列 现在给你n,k, 问在n的全排列中,k回合冒泡序列有多少个 这题看规模就是要推一个公式出来 discuss里的一个解法非常好,让人可以理解 对于n个元素,假设为{0,1,...n- 1},可以发现 对于任意一个排列,假设L(i) 表示位置i上的元素的前面有多少数字比它大, 那么得到了一个L序列. 那么可以知道 交换的轮数 = max{ L(i) } (0 <= i < n) 并且可以发现,对于所有n!种序列,其L序列满

POJ 3761 Bubble Sort

题目链接:https://vjudge.net/problem/POJ-3761 转自:https://blog.csdn.net/cscj2010/article/details/7820906 题目大意 含 n 个不同元素的排列恰好经过 k 趟冒泡排序变得有序.问原数组有多少种排列情况? 分析 第一眼看上去觉得是个 DP,最后发现是个数学题,认栽... 首先,定义 f(x) 表示在数组中位于元素 x 左面且大于 x 的个数.那么有$0 \leq f(x) \leq n - x$. 由题意得$

经典排序算法 - 冒泡排序Bubble sort

 原文出自于 http://www.cnblogs.com/kkun/archive/2011/11/23/bubble_sort.html 经典排序算法 - 冒泡排序Bubble sort 原理是临近的数字两两进行比较,按照从小到大或者从大到小的顺序进行交换, 这样一趟过去后,最大或最小的数字被交换到了最后一位, 然后再从头开始进行两两比较交换,直到倒数第二位时结束,其余类似看例子 例子为从小到大排序, 原始待排序数组| 6 | 2 | 4 | 1 | 5 | 9 | 第一趟排序(外循环) 第

HDU 5775:Bubble Sort(树状数组)

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5775 Bubble Sort Problem Description P is a permutation of the integers from 1 to N(index starting from 1).Here is the code of Bubble Sort in C++. for(int i=1;i<=N;++i) for(int j=N,t;j>i;—j) if(P[j-1] > P

hdu 5775 Bubble Sort(2016 Multi-University Training Contest 4——树状数组)

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=5775 Bubble Sort Time Limit: 2000/1000 MS (Java/Others)    Memory Limit: 65536/65536 K (Java/Others) Total Submission(s): 636    Accepted Submission(s): 378 Problem Description P is a permutation of the

Java中的经典算法之冒泡排序(Bubble Sort)

Java中的经典算法之冒泡排序(Bubble Sort) 原理:比较两个相邻的元素,将值大的元素交换至右端. 思路:依次比较相邻的两个数,将小数放在前面,大数放在后面.即在第一趟:首先比较第1个和第2个数,将小数放前,大数放后.然后比较第2个数和第3个数,将小数放前,大数放后,如此继续,直至比较最后两个数,将小数放前,大数放后.重复第一趟步骤,直至全部排序完成. 举例说明:要排序数组:int[] arr={6,3,8,2,9,1}; 第一趟排序: 第一次排序:6和3比较,6大于3,交换位置:  

Bubble Sort

referrence: GeeksforGeeks Bubble sort is the simplest sorting algorithm that works by repeatedly swapping the adjacent elements if they are in wrong order. Example:First Pass:( 5 1 4 2 8 ) –> ( 1 5 4 2 8 ), Here, algorithm compares the first two elem

冒泡排序(Bubble Sort)

常见的排序算法有Bubble Sort.Merge Sort.Quick Sort 等,所有排序算的基本法思想都是把一个无限大的数据规模通过算法一步步缩小,指导最后完成排序. 这里分享一下Buuble Sort算法,php版本的.冒泡排序不适合在待排序的数据集特别大的情况下,这里只是一个简易的demo,待排序的数据在10以内. 冒泡排序算法有2种极端的情况所导致的算法复杂度是不一样的: 所有的数据集都是有序的,则此时通过算法优化可以是算法的复杂度从 O(n^2) 将至 O(n) 所有的数据集都是