hiho一下 第五十四周 题目1 : 连通性·三

题目1 : 连通性·三

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描述

暑假到了!!小Hi和小Ho为了体验生活，来到了住在大草原的约翰家。今天一大早，约翰因为有事要出去，就拜托小Hi和小Ho忙帮放牧。

约翰家一共有N个草场，每个草场有容量为W[i]的牧草，N个草场之间有M条单向的路径。

小Hi和小Ho需要将牛羊群赶到草场上，当他们吃完一个草场牧草后，继续前往其他草场。当没有可以到达的草场或是能够到达的草场都已经被吃光了之后，小hi和小Ho就把牛羊群赶回家。

一开始小Hi和小Ho在1号草场，在回家之前，牛羊群最多能吃掉多少牧草？

举个例子：

图中每个点表示一个草场，上部分数字表示编号，下部分表示草场的牧草数量w。

在1吃完草之后，小Hi和小Ho可以选择把牛羊群赶到2或者3，假设小Hi和小Ho把牛羊群赶到2：

吃完草场2之后，只能到草场4，当4吃完后没有可以到达的草场，所以小Hi和小Ho就把牛羊群赶回家。

若选择从1到3，则可以到达5，6：

选择5的话，吃完之后只能直接回家。若选择6，还可以再通过6回到3，再到5。

所以该图可以选择的路线有3条：

1->2->4 		total: 11
1->3->5 		total: 9
1->3->6->3->5: 		total: 13
  

所以最多能够吃到的牧草数量为13。

本题改编自USACO月赛金组

提示：强连通分量

输入

第1行：2个正整数，N,M。表示点的数量N，边的数量M。1≤N≤20,000, 1≤M≤100,000

第2行：N个正整数，第i个整数表示第i个牧场的草量w[i]。1≤w[i]≤100,000

第3..M+2行：2个正整数，u,v。表示存在一条从u到v的单向路径。1≤u,v≤N

输出

第1行：1个整数，最多能够吃到的牧草数量。

样例输入

6 6
2 4 3 5 4 4
1 2
2 4
1 3
3 5
3 6
6 3

样例输出

13

以下为该问题的c++解答代码

#include <iostream>
#include <vector>
#include <unordered_map>
#include <algorithm>
#include <queue>
using namespace std;

struct idTime{
    int id;     //结点id
    int time;   //结点结束访问时间
};
struct Cmp{
    const bool operator()(const idTime &a, const idTime &b) const{
        if(a.time != b.time) return a.time < b.time;
        else return a.id < b.id;
    }
};
//深度搜索有向图G，记录结束访问时间
void dfs1(int v, vector<int> ×, vector<int> &visited, vector<vector<int>> &edge, int &cur){
    if(visited[v]) return;
    visited[v] = 1;
    for(int i = 0; i < edge[v].size(); i++)
        if(!visited[edge[v][i]])
            dfs1(edge[v][i], times, visited, edge, cur);
    times[v] = cur;
    cur++;
}
//深度搜索转置图Gt，记录访问的结点
void dfs2(int v, vector<int> &visited, vector<vector<int>> &edge, vector<int> &com){
    if(visited[v]) return;
    visited[v] = 1;
    com.push_back(v);
    for(int i = 0; i < edge[v].size(); i++)
        if(!visited[edge[v][i]])
            dfs2(edge[v][i], visited, edge, com);
}
//根据邻接表edge，求有向图G的强连通分量ret，算法参考《算法导论》
void SCC(vector<vector<int>> &ret, vector<vector<int>> &edge){
    int n = edge.size();
    if(n <= 1) return;
    vector<int> times(n, 0);
    vector<int> visited(n, 0);
    int cur = 0;
    //记录有向图G的各个结点在深度遍历时的结束访问时间
    for(int i = 1; i < n; i++){
        if(!visited[i])
            dfs1(i, times, visited, edge, cur);
    }
    //for(int i = 1; i < times.size(); i++) cout << i << ": " << times[i] << endl;
    //构造有向图G的转置图Gt
    vector<vector<int>> reEdge(n, vector<int>());
    for(int i = 1; i < n; i++){
        for(int j = 0; j < edge[i].size(); j++)
            reEdge[edge[i][j]].push_back(i);
    }
    for(auto &a : visited) a = 0;
    //使用优先队列保存，队首保存结束访问时间最大的结点
    priority_queue<idTime, vector<idTime>, Cmp> priQue;
    for(int i = 1; i < times.size(); i++){
        idTime tmp;
        tmp.id = i;
        tmp.time = times[i];
        priQue.push(tmp);
    }

    while(1){
        vector<int> com;
        int maxId = -1;
        //总是从队首取出未访问的结束访问时间最大的结点
        while(!priQue.empty()){
            if(visited[priQue.top().id]){
                //cout << "pop: " << priQue.top().id << endl;
                priQue.pop();
            }
            else{
                //cout << "maxId: " << priQue.top().id << endl;
                maxId = priQue.top().id;
                break;
            }
        }
        if(maxId == -1) break;
        //以未访问的结束访问时间最大的结点，深度遍历转置图Gt，得到一个强连通分量com
        dfs2(maxId, visited, reEdge, com);
        ret.push_back(com);
    }
}
//回溯深度遍历有向图G'，更新访问路径经过结点的权值和的最大值
void dfs3(int v, vector<vector<int>> &edge, vector<int> &visited, vector<int> w, int &maxV, int cur){
    if(visited[v]) return;
    cur += w[v];
    maxV = max(maxV, cur);
    visited[v] = 1;
    //cout << edge[v].size() << endl;
    for(int i = 0; i < edge[v].size(); i++){
        //cout << visited[edge[v][i]] << endl;
        if(!visited[edge[v][i]])
            dfs3(edge[v][i], edge, visited, w, maxV, cur);
    }
    visited[v] = 0;
}

//算法时间复杂度为O(VlgV+E)，空间复杂度O(E+V)
int main(void){
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("d://file.in", "r", stdin);
#endif // ONLINE_JUDGE
    int N, M;
    cin >> N >> M;
    vector<int> w(N+1, 0);                          //权值
    vector<vector<int>> edge(N+1, vector<int>());   //有向图G邻接表
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        cin >> w[i];
    }
    for(int i = 0; i < M; i++){
        int s, e;
        cin >> s >> e;
        edge[s].push_back(e);
    }
    vector<vector<int>> coms;   //强连通分量
    SCC(coms, edge);
    /*for(auto a : coms){
        for(auto b : a){
            cout << " " << b;
        }
        cout << endl;
    }*/
    //根据强连通分量和连接表重构有向图G'，对于每一个强连通分量，合为一个结点，假设即为u，
    //结点u的权值为分量所有结点的权值和，结点u的边为与分量內结点与其他强连通分量连接的边
    //有向图G'为DAG
    int n = coms.size();
    unordered_map<int, int> C;  //有向图G结点id与强连通分量id（即有向图G'中结点）映射
    vector<int> W(n, 0);        //有向图G'中结点权值
    for(int i = 0; i < n; i++){
        for(auto a : coms[i]){
            C[a] = i;
            W[i] += w[a];
        }
    }

    /*cout << endl;
    for(auto itr = C.begin(); itr != C.end(); itr++) cout << itr->first << " " << itr->second << endl;
    for(auto a : W) cout << " " << a;
    cout << endl;*/
    vector<vector<int>> EDGE(n, vector<int>()); //有向图G'邻接表
    for(int i = 1; i <= N; i++){
        for(auto a : edge[i]){
            if(C[i] != C[a]){
                //cout << C[i] << "->" << C[a] << endl;
                EDGE[C[i]].push_back(C[a]);
            }
        }
    }
    /*cout << endl;
    for(int i = 0; i < n; i++){
        cout << i << ": ";
        for(auto a : EDGE[i]){
            cout << " " << a;
        }
        cout << endl;
    }
    cout << endl;*/
    int maxV= 0;
    vector<int> visited(n, 0);
    //深度遍历有向图G'找到最大权值和
    dfs3(C[1], EDGE, visited, W, maxV, 0);
    cout << maxV << endl;
    return 0;
}

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