二分图最大匹配---匈牙利算法BFS 实现

二分图指的是这样一种图，其所有顶点可以分成两个集合X和Y，其中X或Y中任意两个在同一集合中的点都不相连，所有的边关联在两个顶点中，恰好一个属于集合Ｘ，另一个属于集合Ｙ。给定一个二分图G，M为G边集的一个子集，如果M满足当中的任意两条边都不依附于同一个顶点，则称M是一个匹配。图中包含边数最多的匹配称为图的最大匹配。

二分图的最大匹配有两种求法，第一种是最大流；第二种就是我现在要讲的匈牙利算法。这个算法说白了就是最大流的算法，但是它跟据二分图匹配这个问题的特点，把最大流算法做了简化，提高了效率。

增广路径的定义(也称增广轨或交错轨)：

　　若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属M的边和不属M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。

由增广路径的定义可以推出下述4个结论：

1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

2－P上所有第奇数条边都不在M中，所有第偶数条边都出现在M中。

　　 3－P经过取反操作可以得到一个更大的匹配M’。所谓“取反”即把P上所有第奇数条边(原不在M中)加入到M中，并把P中所有第偶数条边(原在M中)从M中删除，则新的匹配数就比原匹配数多了1个。（增广路顾名思义就是使匹配数增多的路径）

4－M为G的最大匹配当且仅当不存在相对于M的增广路径。

最大流算法的核心问题就是找增广路径（augment path）。匈牙利算法也不例外，它的基本模式就是：

初始时最大匹配为空

while 找得到增广路径

do 把增广路径加入到最大匹配中去

可见和最大流算法是一样的。但是这里的增广路径就有它一定的特殊性。（注：匈牙利算法虽然根本上是最大流算法，但是它不需要建网络模型，所以图中不再需要源点和汇点，仅仅是一个二分图。每条边也不需要有方向。）

算法的思路是不停的找增广路径, 并增加匹配的个数,增广路径顾名思义是指一条可以使匹配数变多的路径，在匹配问题中,增广路径的表现形式是一条"交错路径"，也就是说这条由图的边组成的路径， 它的第一条边是目前还没有参与匹配的，第二条边参与了匹配，第三条边没有..最后一条边没有参与匹配，并且始点和终点还没有被选择过。这样交错进行，显然他有奇数条边。那么对于这样一条路径，我们可以将第一条边改为已匹配，第二条边改为未匹配...以此类推。也就是将所有的边进行"反色"，容易发现这样修改以后，匹配仍然是合法的，但是匹配数增加了一对。另外，单独的一条连接两个未匹配点的边显然也是交错路径。可以证明。当不能再找到增广路径时，就得到了一个最大匹配，这也就是匈牙利算法的思路。

3个重要结论：

最小点覆盖数： 最小覆盖要求用最少的点（Ｘ集合或Ｙ集合的都行）让每条边都至少和其中一个点关联。可以证明：最少的点（即覆盖数）＝最大匹配数

最小路径覆盖=最小路径覆盖＝｜N｜－最大匹配数

用尽量少的不相交简单路径覆盖有向无环图Ｇ的所有结点。解决此类问题可以建立一个二分图模型。把所有顶点i拆成两个：Ｘ结点集中的i和Y结点集中的i‘，如果有边i->j，则在二分图中引入边i->j‘，设二分图最大匹配为m，则结果就是n-m。

二分图最大独立集=顶点数-二分图最大匹配

在Ｎ个点的图G中选出m个点，使这m个点两两之间没有边，求m最大值。

如果图Ｇ满足二分图条件，则可以用二分图匹配来做．最大独立集点数 = N - 最大匹配数。

例题：

http://poj.org/problem?id=1469  COURSES

有了匈牙利算法的基础，该题就是一道非常简单的题目了：该题给出P门课程，N个学生，问能否从中选出P个学生，使每个学生上不同的课，且每个课程有一个学生。典型的二分图匹配的问题，我们只要计算最大二分图匹配数，如果和课程数相同就输出YES，否则输出NO。

//poj_1469
/*==================================================*\
| 二分图匹配（匈牙利算法DFS 实现）
| INIT: g[][]邻接矩阵;
| 优点：实现简洁容易理解，适用于稠密图，DFS找增广路快。
| 找一条增广路的复杂度为O（E），最多找V条增广路，故时间复杂度为O（VE）
==================================================*/
#include<stdio.h>
#include<memory.h>  

bool g[110][310]; //邻接矩阵，true代表有边相连
bool flag,visit[310];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[310];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int p,n;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目   

// 匈牙利算法
bool dfs(int u)
{
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
    {
        if (g[u][i] && !visit[i])   //如果节点i与u相邻并且未被查找过
        {
            visit[i] = true;   //标记i为已查找过
            if (match[i] == -1 || dfs(match[i]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径
            {
                match[i] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）
                return true;   //返回查找成功
            }
        }
    }
    return false;
}  

int main(void)
{
    int i,j,k,t,v,ans;
    scanf("%d",&t);
    while (t--)
    {
          scanf("%d %d", &p, &n);
          for (i = 1; i <= p; i++)
          {
              for (j = 1; j <= n; j++)
                  g[i][j] = false;
          }
          for (i = 1; i <= n; i++)
              match[i] = -1;
          flag = true;
          for (i = 1; i <= p; i++)
          {
              scanf("%d",&k);
              if (k == 0)
                 flag = false;
              while (k--)
              {
                    scanf("%d",&v);
                    g[i][v]  = true;
              }
          }
          if (flag)
          {
               ans = 0;
               for (i = 1; i <= p; i++)
               {
                   memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记
                   if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展
                       ans++;
               }
               if (ans == p)
                   puts("YES");
               else
                   puts("NO");
          }
          else
              puts("NO");
    }  

    return 0;
}  

http://poj.org/problem?id=1274

题意描述：

农夫约翰上个星期刚刚建好了他的新牛棚，他使用了最新的挤奶技术。不幸的是，由于工程问题，每个牛栏都不一样。第一个星期，农夫约翰随便地让奶牛们进入牛栏，但是问题很快地显露出来：每头奶牛都只愿意在她们喜欢的那些牛栏中产奶。上个星期，农夫约翰刚刚收集到了奶牛们的爱好的信息（每头奶牛喜欢在哪些牛栏产奶）。一个牛栏只能容纳一头奶牛，当然，一头奶牛只能在一个牛栏中产奶。

输入：第一行 两个整数，N (0 <= N <= 200) 和 M (0 <= M <= 200) 。N 是农夫约翰的奶牛数量，M 是新牛棚的牛栏数量。

第二行到第N+1行 一共 N 行，每行对应一只奶牛。第一个数字 (Si) 是这头奶牛愿意在其中产奶的牛栏的数目 (0 <= Si <= M) 。后面的 Si 个数表示这些牛栏的编号。牛栏的编号限定在区间 (1..M) 中，在同一行，一个牛栏不会被列出两次。

输出：

只有一行。输出一个整数，表示最多能分配到的牛栏的数量。

给出奶牛们的爱好的信息，计算最大分配方案。

#include<stdio.h>
#include<memory.h>  

#define MAX 202
bool flag,visit[MAX];    //记录V2中的某个点是否被搜索过
int match[MAX];   //记录与V2中的点匹配的点的编号
int cow, stall;   //二分图中左边、右边集合中顶点的数目
int head[MAX];  

struct edge
{
    int to,next;
}e[3000];
int index;  

void addedge(int u,int v)
{   //向图中加边的算法，注意加上的是有向边
    //u为v的后续节点既是v---->u
    e[index].to=v;
    e[index].next=head[u];
    head[u]=index;
    index++;
}  

// 匈牙利（邻接表）算法
bool dfs(int u)
{
    int i,v;
    for(i = head[u]; i != 0; i = e[i].next)
    {
        v = e[i].to;
        if(!visit[v])   //如果节点v与u相邻并且未被查找过
        {
            visit[v] = true;   //标记v为已查找过
            if(match[v] == -1 || dfs(match[v]))   //如果i未在前一个匹配M中，或者i在匹配M中，但是从与i相邻的节点出发可以有增广路径
            {
                match[v] = u;  //记录查找成功记录，更新匹配M（即“取反”）
                return true;   //返回查找成功
            }
        }
    }
    return false;
}
int MaxMatch()
{
    int i,sum=0;
    memset(match,-1,sizeof(match));
    for(i = 1 ; i <= cow ; ++i)
    {
        memset(visit,false,sizeof(visit));   //清空上次搜索时的标记
        if( dfs(i) )    //从节点i尝试扩展
        {
            sum++;
        }
    }
    return sum;
}  

int main(void)
{
    int i,j,k,ans,m;
    while (scanf("%d %d",&cow, &stall)!=EOF)
    {
        memset(head,0,sizeof(head));    //切记要初始化
        index = 1;
        for (i = 1; i <= cow; ++i)
        {
            scanf("%d",&k);
            for (j = 0; j < k; ++j)
            {
                scanf("%d",&m);
                addedge(i , m);
            }
        }  

        ans = MaxMatch();
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}  

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