母函数
母函数定义
考虑只取非负值的离散型随机分布，如二项分布，泊松分布，几何分布等，称之为整值随机变量。而有一种变换方法比较适于变换，即母函数法。
对于整值随机变量 \(\xi\) ，根据佚名统计学家公式，定义母函数为 \(P(s)=Es^{\xi}=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k\) ，当 \(|s|\le1\)时，\(P(s)\) 一致收敛且绝对收敛，所以母函数对任何整值随机变量都存在。
二项分布母函数： \(P(s)=(q+ps)^n\)
泊松分布母函数： \(P(s)=e^{\lambda s}e^{-\lambda}=e^{\lambda(s-1)}\)
几何分布母函数： \(P(s)=\frac{ps}{1-qs}\)
母函数的性质
- 唯一性：母函数能唯一确定分布列
- 母函数与数值特征相关
因为，\(P(s)=\sum_{k=0}^\infty p_ks^k\) ，可以推得\(P'(s)=\sum_{k=1}^\infty kp_ks^{k-1}\)，\(P''(s)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)p_ks^{k-2}\)
所以，当数学期望和方差存在的时候，可以知道 \(E\xi=P'(1)\)，而\(E(\xi(\xi-1))=E(\xi^2)-E\xi=P''(1)\)，
推得\(D\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=E(\xi(\xi-1))+E\xi-(E\xi)^2=P''(1)+P'(1)-(P'(1))^2\)
所以，利用母函数可以更为简单直接的求整值随机变量的数字特征。
- 独立随机变量和的母函数
考虑随机变量和的母函数，根据整值随机变量的定义我们可以知道，计算随机变量 \(\zeta=\xi+\eta\)时，（分别对应于分布\(\{c_k\},\{a_k\},\{b_k\}\)）有\(c_r=\sum_{i=0}^ra_ib_{r-i}\)，这个实际上给出了卷积的从统计角度上的理解。既然是卷积，我们知道多项式乘法的计算过程也是利用卷积，所以通过母函数，我们可以把随机变量和的概率分布求解转化成多项式乘法，即\(C(s)=A(s)B(s)\)。两个独立随机变量之和的母函数是这两个随机变量母函数的乘积，而母函数和分布是一一对应的，从而可以间接求出分布。
结论可以推广到n个独立整值随机变量之和的场合。
- 随机个随机变量之和的母函数
考虑一组独立同分布的随机变量\(\{\xi_n\}\)，母函数为\(F(s)=\sum_{j=0}^\infty f_js^j\)，和与之独立的正值随机变量\(v\) ，母函数为\(G(s)=\sum_{n=0}^\infty g_ns^n\) ，考虑 \(\eta = \sum_{i=1}^v \xi_i\)，即随机个随机变量之和的分布。
\(\eta\)的母函数为\(H(s)=\sum_{i=0}^\infty h_is^i\) ，所以有
\[
\begin{split}
h_i &= P\{\eta=i\} = \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{\eta=i|v=n\}\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i|v=n\}\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i\}
\end{split}
\]
而随机变量\(\{\xi_n\}\)独立同分布，所以有
\[
\begin{split}
H(s)&=\sum_{i=0}^\infty h_is^i\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}P\{ \sum_{i=1}^n \xi_i\}s^i\ &= \sum_{n=1}^\infty P\{v=n\}[F(s)]^n\ &= G[F(s)]
\end{split}
\]
即随机个随机变量之和的母函数是原来两个母函数的复合。
考虑应用：由于 \(H'(s)=G'[F(s)]F'(s)\) 令\(s=1\)可以求得，\(E\eta=Ev E\xi_i\)
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