神炎皇:
题意:
对于一个整数对$(a,b)$,若满足$a+b<=n$且$a+b$是$a*b$的因子,则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少个?($N<=10^{14}$)
题解:
已知$a+b<=n\\ (a+b)|ab$。
设$d=\gcd(a,b),x=a/d,y=b/d$。
上式为$(x+y)*d<=n(1)\\ (x+y)|x*y*d(2)$。
因为$\gcd(x+y,x)=\gcd(x+y,y)=\gcd(x,y)=1$。
(2)式可化减为$(x+y)|d$。
又由(1)式得$(x+y)<=\sqrt{n}$。
设$k=x+y,d=z*k$,所以$z*k^2<=n$,那么合法的$d$的个数为$\lfloor \frac{n}{k^2} \rfloor$。
而对于每一个$d$,都有$\varphi{k}$个$x$满足条件。
所以最后答案为$\sum\limits_{i=1}^{\sqrt{n}} \varphi(i) * \lfloor \frac{n}{k^2} \rfloor$。
code:
#include<iostream> #include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> using namespace std; #define R register #define ll long long #define int long long inline int read() { int aa=0;char cc=getchar(); while(cc<‘0‘||cc>‘9‘)cc=getchar(); while(cc<=‘9‘&&cc>=‘0‘) aa=(aa<<3)+(aa<<1)+(cc^48),cc=getchar(); return aa; } const int N=1e7+7,M=1e6; int n,ans;bool mark[N];int tot,phi[N],prime[M]; void getphi(const int lim) { for(R int i=2;i<=lim;++i){ if(!mark[i])prime[++tot]=i,phi[i]=i-1; for(R int j=1;j<=tot;++j){ if(i*prime[j]>lim)break; mark[i*prime[j]]=1; if(i%prime[j]==0){ phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];break; } else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1); } } } signed main() { //freopen("uria.in","r",stdin); //freopen("uria.out","w",stdout); n=read(); const int lim=sqrt(n); getphi(lim+2); for(R int i=1;i<=lim;++i) ans+=phi[i]*(n/(i*i)); printf("%lld",ans); return 0; } /* 21 */
原文地址:https://www.cnblogs.com/toot-wjh/p/11664120.html
时间: 2024-11-05 21:41:32