最简单直观简单的素数判定方法就是试除法。对于判断数n是否是素数，我们从2开始一直到sqrt(n)。如果找到一个因子则判断n不是素数，否则是素数。代码如下：
bool isPrime( long long n )
{
for(long long i = 2; i*i <= n; i++)
{
if(n%i == 0) return false;
}
return true;
}
如果要找到成1~n的所有素数那么这个时间代价就变为O(n^2)，很多时候是不可接受的。
所以随着学习的深入，我们了解到了素数筛法，即从2开始，2的倍数肯定不是素数，再向右扫描，如果扫描到素数，则重复之前的过程，剔除之后的部分合数（准确的说是关于当前质数的倍数），如果扫描到合数则跳过（表示前面已经更新过这个数不是素数）。然后都扫描一遍即可把1~n的素数求解出来。这个算法的复杂度略高于O(n)。素数筛代码如下：
bool isprime[MAXN];
int prime[MAXN];
int cnt = 0;//保存素数个数
void getPrime()
{
for(int i = 1; i < MAXN; i++)
isprime[i] = true;
//先假设所有数是素数，后面逐个扫描更新
for(int i = 2; i < MAXN; i++) //扫一遍
{
if(!isprime[i]) continue;
//如果不是素数，则不往后面更新
prime[cnt++] = i;
for(int j = 2 * i; j < MAXN; j += i)
isprime[j] = false;
}
}
但是这个算法的弊端在于，为了判断一个大数是否是素数必须从从头开始扫描，而且空间代价也受不了，故不能离散的判断。
Miller_rabin算法
算法的理论基础：
1. Fermat定理：
若n是奇素数，a是任意正整数(1≤ a≤ n−1)，
证明：由费马定理，可以排除大部分非素数的情况（满足费马定理是素数的必要条件），给出一个奇素数n，显然n-1为一个偶数，存在
,显然
（q，m为任意整数）是成立的，所以
,显然
.
2. 二次探测定理：
证明过程如下：
由p为一个素数可以推出
。
所以根据二次探测定理，可以推断
,
……,
.
3. 综上：
对于一个大数n，判断n是不是素数的时候，可以先考虑a（n-1）≡ 1（mod n）
对于n-1，一定可以拆分成2s+d：
可以从x = ad开始，依次平方s次，每次平方的时候模上n，按照之前的平方根定理，如果模上n的结果为1的话，那么x一定是1，或者是n-1，如果不满足则不是素数，x=x2，再次循环。
每次随机选一个在2-n-1的数字作为a，可以重复测试。
由于mod上的是n，n是一个大数，所以快速幂中的乘法，需要用快速加法来实现。不然就算模上之后再相乘也会溢出。
代码：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <map>
using namespace std;
const int times = 20;
int number = 0;
map<long long, int>m;
long long Random( long long n )
//生成[ 0 , n ]的随机数
{
return ((double)rand( ) / RAND_MAX*n + 0.5);
}
long long q_mul( long long a, long long b, long long mod )
{//快速计算 (a*b) % mod
long long ans = 0;
while(b)
{
if(b & 1)
{
b--;
ans =(ans+ a)%mod;
}
b /= 2;
a = (a + a) % mod;
}
return ans;
}
long long q_pow( long long a, long long b, long long mod )
{//快速计算 (a^b) % mod
long long ans = 1;
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans = q_mul( ans, a, mod );
}
b /= 2;
a = q_mul( a, a, mod );
}
return ans;
}
bool witness( long long a, long long n )//miller_rabin算法的精华
{//用检验算子a来检验n是不是素数
long long tem = n - 1;
int j = 0;
while(tem % 2 == 0)
{
tem /= 2;
j++;
}
//将n-1拆分为a^r * s
long long x = q_pow( a, tem, n );
//得到a^r mod n
if(x == 1 || x == n - 1) return true;
//余数为1则为素数
while(j--) //否则试验条件2看是否有满足的 j
{
x = q_mul( x, x, n );
if(x == n - 1) return true;
}
return false;
}
bool miller_rabin( long long n )
{//检验n是否是素数
if(n == 2)
return true;
if(n < 2 || n % 2 == 0)
return false;
//如果是2则是素数，如果<2或者是>2的偶数则不是素数
for(int i = 1; i <= times; i++) //做times次随机检验
{
long long a = Random( n - 2 ) + 1;
//得到随机检验算子 a
if(!witness( a, n ))
//用a检验n是否是素数
return false;
}
return true;
}
int main( )
{
long long tar;
while(cin >> tar)
{
if(miller_rabin( tar )) //检验tar是不是素数
cout << "Yes, Prime!" << endl;
else
cout << "No, not prime.." << endl;
}
return 0;
}
部分参考：https://www.cnblogs.com/fzl194/p/9046117.html
原文地址：https://www.cnblogs.com/jaszzz/p/12693251.html