树状数组是对一个数组改变某个元素和求和比较实用的数据结构。
设a[1...N]为原数组,定义c[1...N]为对应的树状数组:
c[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + ... + a[i]
其中k为i的二进制表示末尾0的个数,所以2^k即为i的二进制表示的最后一个1的权值.
也就是说，把k表示成二进制1***10000，那么c[k]就是1***00001 + 1***00010 + ... + 1***10000这一段数的和。
所以2^k可以表示为n&(n^(n-1))或者更简单的n&(-n)，例如：
为了表示简便，假设现在一个int型为4位,最高位为符号位
int i=3&(-3); 此时i=1，3的二进制为0011,-3的二进制为1101(负数存的是补码）所以0011&1101=1
int Lowbit(int t)
{
return t & ( t ^ ( t - 1 ) );
}
求得：2^k=1000，
也就是说，把k表示成二进制1***10000，那么c[k]就是1***00001 + 1***00010 + ... + 1***10000这一段数的和。
设节点编号为x，由于c[i] = a[i - 2^k + 1] + a[i - 2^k + 2] + ... + a[i]
那么这个节点管辖的区间为2^k个元素
修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。
如上图，对于c[8]，c[4]，假设c[4]的右兄弟节点为c[x]，那么c[4]和c[x]所管辖的节点数目是一样的，都是4个，即展开以后得到A数组中元素数目都是4，求c[4]节点父节点的编号，即是求父节点最大能扩展到多少，对于c[8]来说，可以认为他从左孩子的末端开始（即左孩子最大扩展的编号）计算，延伸的宽度即是左孩子的宽度，即为lowb(4)
修改一个节点，必须修改其所有祖先，最坏情况下为修改第一个元素，最多有log(n)的祖先。
对a[n]进行修改后,需要相应的修改c数组中的p1, p2, p3...等一系列元素
其中p1 = n, pi+1 = pi + lowbit(pi)，
void Modify(int n, int delta)
{
while(n <= N)
{
c[n] += delta;
n += lowbit(n);
}
}
当要查询a[1],a[2]...a[n]的元素之和时,需要累加c数组中的q1, q2, q3...等一系列元素
其中q1 = n,qi+1 = qi - lowbit(qi)
所以计算a[1] + a[2] + .. a[n]可以实现为:
int Sum(int n)
{
int result = 0;
while(n != 0)
{
result += c[n];
n -= lowbit(n);
}
return result;
}
为什么是效率是log(n)的呢？以下给出证明：
n = n – lowbit(n)这一步实际上等价于将n的二进制的最后一个1减去。而n的二进制里最多有log(n)个1，所以查询效率是log(n)的。