UVA 11426 - GCD - Extreme (II)

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题意：给定N，求∑i<=ni=1∑j<nj=1gcd(i,j)的值。

思路：lrj白书上的例题，设f(n) = gcd(1, n) + gcd(2, n) + ... + gcd(n - 1, n).这样的话，就可以得到递推式S(n) = f(2) + f(3) + ... + f(n) ==> S(n) = S(n - 1) + f(n);.

这样问题变成如何求f(n).设g(n, i)，表示满足gcd(x, n) = i的个数，这样f(n) = sum{i * g(n, i)}. 那么问题又转化为怎么求g(n, i),gcd(x, n) = i满足的条件为gcd(x / i, n / i) = 1,因此只要求出欧拉函数phi(n / i)，就可以得到与x / i互质的个数，从而求出gcd(x , n) = i的个数，这样整体就可以求解了

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>

const int N = 4000005;

int n;
long long phi[N], s[N], f[N];

int main() {
	phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i < N; i++) {
		if (phi[i]) continue;
  		for (int j = i; j < N; j += i) {
  			if (!phi[j]) phi[j] = j;
  			phi[j] = phi[j] / i * (i - 1);
  		}
 	}
 	for (int i = 1; i < N; i++) {
 		for (int j = i * 2; j < N; j += i) {
 			f[j] += phi[j / i] * i;
		}
  	}
  	s[2] = f[2];
  	for (int i = 3; i < N; i++)
  		s[i] = s[i - 1] + f[i];
	while (~scanf("%d", &n) && n) {
		printf("%lld\n", s[n]);
 	}
	return 0;
}

UVA 11426 - GCD - Extreme (II) (数论)