POJ3420 Quad Tiling DP + 矩阵快速幂

题目大意是用1*2的骨牌堆积成4*N的矩形，一共有多少种方法，N不超过10^9。

这题和曾经在庞果网上做过的一道木块砌墙几乎一样。因为骨牌我们可以横着放，竖着放，我们假设以4为列，N为行这样去看，并且在骨牌覆盖的位置上置1，所以一共最多有16种状态。我们在第M行放骨牌的时候，第M+1行的状态也是有可能被改变的，设S(i,j)表示某一行状态为i时，将其铺满后下一行状态为j的方案书。考虑下如果我们让矩阵S和S相乘会有什么意义，考虑一下会发现S*S的意义当某行状态为i，接着其后面第2行的状态为j的可行方案数，一般地，S^n则代表接下来第n行状态为j的方案数，这里N很大，我们可以用快速幂对矩阵的幂进行加速。对于S矩阵的最初状态我们可以穷尽搜索来求。

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <vector>
#include <math.h>
#include <string.h>
#include <string>
#include <iostream>
#include <queue>
#include <list>
#include <algorithm>
#include <stack>
#include <map>

#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
int State[16][16];
int Start[16][16];
int IMod;

void InitState(int ori, int s, int p)
{
	bool isfull = true;
	for (int i = 0; i < 4; i++)
	{
		if (((s >> i) & 1) == 0)
		{
			//竖着放
			InitState(ori, s | (1 << i), p | (1 << i));
			//横着放
			if (i < 3 && ((s >> (i + 1)) & 1) == 0)
			{
				int tp = s | (1 << i);
				tp |= (1 << (i + 1));
				InitState(ori ,tp, p);
			}
			isfull = false;
			break;
		}
	}
	if (isfull)
	{
		State[ori][p] += 1;
	}
}

void Product(int a[][16], int b[][16], int res[][16])
{
	for (int i = 0; i < 16;i++)
	{
		for (int j = 0; j < 16; j++)
		{
			res[i][j] = 0;
			for (int k = 0; k < 16; k++)
			{
				res[i][j] += (a[i][k] * b[k][j] % IMod);
				res[i][j] %= IMod;
			}
		}
	}
}

void QProduct(int p[][16], int res[16][16], int n)
{
	memset(res, 0, sizeof(int) * 16 * 16);
	int tmp[2][16][16];
	int tmpres[16][16];
	memcpy(tmp[0], p, sizeof(int) * 16 * 16);
	int i = 0;
	for (int k = 0; k < 16; k++)
	{
		res[k][k] = 1;
	}
	while (n)
	{

		if (n & 1)
		{
			memcpy(tmpres, res, sizeof(int) * 16 * 16);
			Product(tmpres, tmp[i & 1], res);
		}
		Product(tmp[i & 1], tmp[i & 1], tmp[(i + 1) & 1]);
		i++;
		n = n >> 1;
	}
}

int main()
{
#ifdef _DEBUG
	freopen("d:\\in.txt", "r", stdin);
#endif
	int n, m;
	memset(State, 0, sizeof(State));
	for (int i = 0; i < 16; i++)
	{
		InitState(i, i, 0);
	}

	int finstates[16][16];
	int res[16][16];
	memset(Start, 0, sizeof(Start));
	Start[0][0] = 1;
	while (scanf("%d %d", &n, &m) != EOF)
	{
		if (n == 0 || m == 0)
		{
			break;
		}
		IMod = m;
		QProduct(State, finstates, n);
		Product(Start, finstates, res);
		int ans = 0;
		for (int i = 0; i < 16; i++)
		{
			ans += res[i][0];
			ans %= IMod;
		}
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}

POJ3420 Quad Tiling DP + 矩阵快速幂