POJ No.3233

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题意：已知n*n的矩阵A和正整数k，求S = A + A^2 + A^3 + .... + A^k并输出S的各元素对M取余后的答案。

分析：如果选择依次求解矩阵的幂，然后将其累加，时间复杂度是O(kn^3logk)，效率太低。但如果试着找一下关于S的递推公式，效率将大大提升。

我们不妨令S(k) = I + A + A^2 + ... + A^(k-1),则有（A^k, S(k)）= （(A, 0), (I, I) ）* （A^(k-1), S(k-1)）= （(A, 0), (I, I)）^k * （I, 0）。

令矩阵B = （(A, 0), (I, I)）,则原问题转化为求B^(k+1)，时间复杂度为O(n^3logk)。

代码实现：

void solve(mat A, int n, int k， int M)

{

　　mat B(2*n, vec(2*n));

　　for(int i = 0; i < n; ++i)

　　　　for(int j = 0; j < n; ++j)

　　　　{

　　　　　　B[i][j] = A[i][j];

　　　　　　B[n+i][i] = B[n+i][n+i] = 1;//构造单位矩阵I

　　　　}

　　B = pow(B, k + 1);//求B^(k+1)

　　for(int i = 0; i < n; ++i)

　　　　for(int j = 0; j < n; ++j)

　　　　{

　　　　　　int a = (B[i + n][j]) % M;

　　　　　　if(i == j)

　　　　　　　　a = (a + M - 1) % M;

　　　　　　cout << a << endl;

　　　　}

}

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