uva12716 GCD XOR(打表找规律+筛法）

题意：输入整数（1=<n<=30000000）,有多少对整数（a,b）满足：1=<b=<a=<n,且gcd(a,b)=a^b。例如n=7时，有4对：（3，2），（5，4），（6，4），（7，6）

解题思路：

看到题目之后一直在找最大公约数和异或之间的关系，但找了半天没有发现。于是果断打表发现如下规律

满足gcd(a,b)=a^b的数有如下规律，要么就是a=b-1,要么就是有前面已求得的满足条件的乘上一定的倍数得到如下：

根据上述规律，我们便可以求的所有的可能性，上面只打印了一部分，整个程序2秒左右完成预处理

所以对于每次符合条件的（a,a-1），我们运用类似筛法的方法去叠加即可时间复杂度O（nlogn）

代码：

#include <cstdio>
#include <cstring>
#define MAXN 30000001
using namespace std;
int d[MAXN];
int main(){
    int maxn=30000000;
    for(int i=3;i<=maxn;i++)
    {
        if(1==(i^(i-1))){
            d[i]++;
            int j,k;
            for(j=i<<1,k=2;j<=MAXN;j+=i,k++){
                if(k==(j^(j-k)))
                    d[j]++;
            }
        }
    }
    for(int i=3;i<=MAXN;i++)
        d[i]+=d[i-1];
    int T;
    scanf("%d",&T);
    int n;
    for(int t=1;t<=T;t++){
        scanf("%d",&n);
        printf("Case %d: %d\n",t,d[n]);
    }
    return 0;
}

收获：

1、数学上许多问题都可以通过打表寻找规律；

2、对于数据很大的情况，一个很小的细节就可能在超时，所以当数据很大时，每一步尽量都做到最优

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