对论文《最大最小定理》的简单理解

König定理的证明

• 最大匹配数不超过最小覆盖数

显然成立。两两匹配的节点中至少选一个。否则必有边不匹配。

• 任取一个最小覆盖Q，一定可以构造出一个与之大小相等的匹配M

显然成立。每个点连一条匹配边，则这条边的另一端一定可以是一个不在覆盖中的点（否则可以把这个点删掉，则不是最小覆盖）。故匹配与之大小相等。

同理，证明最大独立集的大小等于最小边覆盖数时，首先独立集不大于最小边覆盖（集合中每个点的“另一端”都不在集合中，这些边必选一条，且没有重合），其次最小边覆盖一定对应一个独立集（每个边的端点选一个，则一定可以不选重。若两个点都不能选，这条边应该拆掉，与最小矛盾）。

平面图及其对偶图

• 平面图G与其对偶图G*中必有G*中的环对应G中的割一一对应

注意：这些割未必是s-t的割

理解：因为每个回路至少把一个点“圈”进来，并且一定有点在“圈”外面

• 一条从s*到t*的路径，就对应了一个s-t割！

理解：必然有一个点在“圈”里面，一个点在“圈”外面