3771: Triple
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Description
我们讲一个悲伤的故事。
从前有一个贫穷的樵夫在河边砍柴。
这时候河里出现了一个水神，夺过了他的斧头，说：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫一看：“是啊是啊！”
水神把斧头扔在一边，又拿起一个东西问：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫看不清楚，但又怕真的是自己的斧头，只好又答：“是啊是啊！”
水神又把手上的东西扔在一边，拿起第三个东西问：
“这把斧头，是不是你的？”
樵夫还是看不清楚，但是他觉得再这样下去他就没法砍柴了。
于是他又一次答：“是啊是啊！真的是！”
水神看着他，哈哈大笑道：
“你看看你现在的样子，真是丑陋！”
之后就消失了。
樵夫觉得很坑爹，他今天不仅没有砍到柴，还丢了一把斧头给那个水神。
于是他准备回家换一把斧头。
回家之后他才发现真正坑爹的事情才刚开始。
水神拿着的的确是他的斧头。
但是不一定是他拿出去的那把，还有可能是水神不知道怎么偷偷从他家里拿走的。
换句话说，水神可能拿走了他的一把，两把或者三把斧头。
樵夫觉得今天真是倒霉透了，但不管怎么样日子还得过。
他想统计他的损失。
樵夫的每一把斧头都有一个价值，不同斧头的价值不同。总损失就是丢掉的斧头价值和。
他想对于每个可能的总损失，计算有几种可能的方案。
注意：如果水神拿走了两把斧头a和b，(a,b)和(b,a)视为一种方案。拿走三把斧头时，(a,b,c),(b,c,a),(c,a,b),(c,b,a),(b,a,c),(a,c,b)视为一种方案。
Input
第一行是整数N，表示有N把斧头。
接下来n行升序输入N个数字Ai，表示每把斧头的价值。
Output
若干行，按升序对于所有可能的总损失输出一行x y，x为损失值，y为方案数。
Sample Input
4
4
5
6
7
Sample Output
4 1
5 1
6 1
7 1
9 1
10 1
11 2
12 1
13 1
15 1
16 1
17 1
18 1
样例解释
11有两种方案是4+7和5+6，其他损失值都有唯一方案，例如4=4,5=5,10=4+6,18=5+6+7.
HINT
所有数据满足：Ai<=40000
FFT+容斥原理
听说这个叫母函数？
这里要考虑重复问题，所以要用容斥。
多项式A，对于每一项x，如果存在一个物品的价值v满足x=v，则第x项为1，否则为0。
多项式B，对于每一项x，如果存在一个物品的价值v满足x=2v，则第x项为1，否则为0。
多项式C，对于每一项x，如果存在一个物品的价值v满足x=3v，则第x项为1，否则为0。
然后根据容斥，一个物品方案数是A，两个物品方案数是(A^2-B)/2，三个物品方案数是(A^3-3*A*B+2*C)/6。
所以最终答案ans=A+(A^2-B)/2+(A^3-3*A*B+2*C)/6。
多项式的乘法用FFT做，时间复杂度O(n*logn)。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define F(i,j,n) for(int i=j;i<=n;i++)
#define D(i,j,n) for(int i=j;i>=n;i--)
#define ll long long
#define maxn 150000
using namespace std;
int n,m,rev[maxn];
const double pi=acos(-1.0);
struct CP
{
double x,y;
CP(double xx=0,double yy=0){x=xx;y=yy;}
friend CP operator +(CP a,CP b){return CP(a.x+b.x,a.y+b.y);}
friend CP operator -(CP a,CP b){return CP(a.x-b.x,a.y-b.y);}
friend CP operator *(CP a,CP b){return CP(a.x*b.x-a.y*b.y,a.x*b.y+a.y*b.x);}
friend CP operator *(CP a,double k){return CP(a.x*k,a.y*k);}
friend CP operator /(CP a,double k){return CP(a.x/k,a.y/k);}
}a[maxn],b[maxn],c[maxn],ans[maxn];
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if (ch=='-') f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
void FFT(CP *a,int n,int flag)
{
F(i,0,n-1) if (rev[i]>i) swap(a[i],a[rev[i]]);
for(int m=2;m<=n;m<<=1)
{
int mid=m>>1;
CP wn(cos(2.0*pi*flag/m),sin(2.0*pi*flag/m));
for(int i=0;i<n;i+=m)
{
CP w(1.0,0);
F(j,i,i+mid-1)
{
CP u=a[j],v=a[j+mid]*w;
a[j]=u+v;a[j+mid]=u-v;
w=w*wn;
}
}
}
if (flag==-1) F(i,0,n-1) a[i].x/=n;
}
int main()
{
m=131072;
F(i,1,m-1) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)+((i&1)<<16);
n=read();
F(i,1,n){int x=read();a[x]=CP(1.0,0);b[x*2]=CP(1.0,0);c[x*3]=CP(1.0,0);}
FFT(a,m,1);FFT(b,m,1);FFT(c,m,1);
F(i,0,m-1) ans[i]=a[i]+(a[i]*a[i]-b[i])/2.0+(a[i]*a[i]*a[i]-a[i]*b[i]*3.0+c[i]*2.0)/6.0;//重点理解这个式子
FFT(ans,m,-1);
F(i,0,m-1)
{
int x=round(ans[i].x);
if (x>0) printf("%d %d\n",i,x);
}
return 0;
}