原题：
It is possible to write five as a sum in exactly six different ways:
4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1
How many different ways can one hundred be written as a sum of at least two positive integers?
翻译：
加和计数
将5写成整数的和有6种不同的方式：
4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1
将100写成整数的和有多少种不同的方式？
解题思路：
将100能够拆成整数的和能够有多少种？
1.利用动态规划求解
2.利用数的拆分求解<组合数学中有讲解>
数的拆分法
理论基础，链接中讲到了拆分的理论
P（n，k）的意思就是n拆分成k份的数量
有递推公式：
P（n，k）= P（n-1，k-1） + P（n-k，k）
初始值：
k>n时：P（n，k） = 0
对所有的n，P（n，n）=1，P（n，0）=0
也很显然的发现：
对所有的n，P（n，1）=n，P（n，2） = n/2 的向下取整
证明：P（n，k）= P（n-1，k-1） + P（n-k，k）
忘了。。。
求出所以的P（n，k）矩阵
则n的所以拆分的和是 
Java程序：
// 整数n 拆分k份
void partitions(){
int limit = 100;
int count = 0;
int[][] p = new int[limit+1][limit+1];
for(int n=0;n<=limit;n++){
p[n][n] = 1;
p[n][1] = 1;
p[n][0] = 0;
}
for(int n=1;n<=limit;n++){
for(int k=1;k<=n;k++){
p[n][k] = p[n-1][k-1] + p[n-k][k];
if(n==limit)
count+=p[n][k];
}
}
count = count - 1;
System.out.println(count);
}
结果：
// 190569291 // running time=0s0ms
利用递归程序：
void getPar(){
int limit = 100;
int count = 0;
for(int k=1;k<=limit;k++)
count+=Par(100,k);
count = count-1;
System.out.println(count);
}
//递归形式 整数n 拆分k分
int Par(int n,int k){
if(k==1||n==k) return 1;
if(k>n) return 0;
return Par(n-1,k-1)+Par(n-k,k);
}
结果：
// 190569291 // running time=1s869ms
递归时间明显长了许多
动态规划求解
//动态规划求解
void dp(){
int limit = 100;
int[] ways = new int[limit+1];
ways[0] = 1 ;
for(int i=1;i<=limit-1;i++){
for(int j = i;j<=limit;j++)
ways[j] += ways[j-i];
}
System.out.println(ways[limit]);
}
// 190569291 // running time=0s0ms
还看不懂
完整java程序：
package Level3;
public class PE076{
void run(){
// dp();
// partitions();
// getPar();
int res = partitions3(100,100);
res = res - 1;
System.out.println(res);
}
int partitions3(int n,int m ){
if(n<=1) return 1;
if(m>n) return partitions3(n,n);
int sum = 0;
for(int k=1;k<=m;k++)
sum+=partitions3(n-k,k);
return sum;
}
// 190569291
// running time=10s845ms
void getPar(){
int limit = 100;
int count = 0;
for(int k=1;k<=limit;k++)
count+=Par(100,k);
count = count-1;
System.out.println(count);
}
// 190569291
// running time=1s869ms
//递归形式 整数n 拆分k分
int Par(int n,int k){
if(k==1||n==k) return 1;
if(k>n) return 0;
return Par(n-1,k-1)+Par(n-k,k);
}
// 整数n 拆分k份
void partitions(){
int limit = 100;
int count = 0;
int[][] p = new int[limit+1][limit+1];
for(int n=0;n<=limit;n++){
p[n][n] = 1;
p[n][1] = 1;
p[n][0] = 0;
}
for(int n=1;n<=limit;n++){
for(int k=1;k<=n;k++){
p[n][k] = p[n-1][k-1] + p[n-k][k];
if(n==limit)
count+=p[n][k];
}
}
count = count - 1;
System.out.println(count);
// for(int n=1;n<=6;n++){
// for(int k=1;k<=n;k++)
// System.out.print(p[n][k]+" ");
// System.out.println();
// }
// for(int k=0;k<=limit;k++)
// count+= p[limit][k];
// count = count - 1;
// System.out.println(count);
}
// 190569291
// running time=0s0ms
//动态规划求解
void dp(){
int limit = 100;
int[] ways = new int[limit+1];
ways[0] = 1 ;
for(int i=1;i<=limit-1;i++){
for(int j = i;j<=limit;j++)
ways[j] += ways[j-i];
}
System.out.println(ways[limit]);
}
// 190569291
// running time=0s0ms
public static void main(String[] args){
long t0 = System.currentTimeMillis();
new PE076().run();
long t1 = System.currentTimeMillis();
long t = t1 - t0;
System.out.println("running time="+t/1000+"s"+t%1000+"ms");
}
}
Python实现
动态规划的效率很高
递归的已经不能忍了
import time
def PE076():
res = dp();
# res = partitions(100,100)
print res
def partitions(n,m):
# limit = 100
count = 0
if n<=1 : return 1
if m>n : return partitions(n,n)
for k in range(1,m+1):
count = count + partitions(n-k,k)
return count
# 190569292
# running time=1073.04099989s
def dp():
limit = 100
ways = [0]*(limit+1)
ways[0] = 1
for n in range(1,limit):
for k in range(n,limit+1):
ways[k] +=ways[k-n]
return ways[limit]
if __name__==‘__main__‘:
t0 = time.time()
PE076()
print "running time={0}s".format((time.time()-t0))
时间： 2024-08-25 20:20:01