[问题2015S12] 复旦高等代数 II（14级）每周一题（第十三教学周）

[问题2015S12]  设 \(A\) 为 \(n\) 阶实矩阵, 若对任意的非零 \(n\) 维实列向量 \(\alpha\), 总有 \(\alpha‘A\alpha>0\), 则称 \(A\) 为亚正定阵. 显然, 如果 \(A\) 既是实对称阵, 又是亚正定阵, 那么 \(A\) 就是正定阵. 以下设 \(A,B\) 都是 \(n\) 阶亚正定阵, \(c\) 是正实数, 求证:

(1) \(A\) 是亚正定阵的充要条件是 \(A+A‘\) 是正定阵;

(2) \(A\) 的特征值的实部都大于零, 特别的, \(|A|>0\);

(3) \(A^{-1}\), \(A^*\), \(A+B\), \(cA\) 都是亚正定阵;

(4) 若 \(C\) 是 \(n\) 阶非异实矩阵, 则 \(C‘AC\) 是亚正定阵;

(5) 若 \(B\) 是对称阵且 \(A-B\) 是亚正定阵, 则 \(B^{-1}-A^{-1}\) 也是亚正定阵.

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