多米诺翻转

我们的问题从一张 $8\times8$ 的国际象棋棋盘开始。棋盘的一个铺砌 $T$，是指用若干$1\times2$ 的多米诺骨牌不重叠不遗漏地盖住棋盘的一种方法。显然在一个铺砌 $T$ 中，每个骨牌恰好盖住一对相邻的方格，因此总共需要 32 张骨牌。

任给一个棋盘的铺砌 $T$，考虑这样一种局部的操作：选择 $T$ 中一个 $2\times2$ 的正方形，它包含一对平行的多米诺骨牌，然后将这对骨牌翻转 90 度，即把一对水平并排放置的骨牌变成垂直并排放置的（或者反之）。这样一个操作叫做翻转（filp）。

求证：对棋盘的任何两种不同的铺砌 $T_1$ 和 $T_2$，总可以经过若干次翻转把其中一个变成另一个。

研究这类问题有什么意义呢？除去纯粹的数学的趣味性，它在实际研究中也有重要价值。铺砌问题与统计力学中的格点模型有关，一种铺砌的方式就是系统一种可能的状态。这类模型的一个重要问题就是：一个随机的状态是什么样子的？怎样在系统所有可能的状态中随机的取样？如果我们能证明系统的所有状态在某种简单的局部变换下是可以互达的，那么从任意一个状态出发，随机地进行局部变换，根据 Markov 链的理论，随着变换次数的增多会收敛到平稳分布，且遍历所有的状态。这个想法是许多算法的核心。