【强连通分量+概率】Bzoj2438 杀人游戏

Description

一位冷血的杀手潜入 Na-wiat，并假装成平民。警察希望能在 N 个人里面，查出谁是杀手。 
警察能够对每一个人进行查证，假如查证的对象是平民，他会告诉警察，他认识的人， 谁是杀手， 谁是平民。 假如查证的对象是杀手， 杀手将会把警察干掉。 
现在警察掌握了每一个人认识谁。 
每一个人都有可能是杀手，可看作他们是杀手的概率是相同的。 
问：根据最优的情况，保证警察自身安全并知道谁是杀手的概率最大是多少？

Sulotion

最优的询问对象是，把强连通分量缩成一个点(问其中一个可推出所有，只要不第一次问就是罪犯可以一直安全)，问那些入度为0的(这里相当于再把连通的缩为一个点)。

这样我们就得到了一些互不相干的点集，怎么计算概率呢？设点集大小为s1,s2,..

那么ans=(n-1)/n(第一次问不是罪犯)*[(s1-1/n-1)(集合在第一点集中)+((n-s1)/(n-1))*((n-s1-1)/(n-s1))*((s2-1)*(n-s1-1))(分别为，不在第一点集，第二次不问到罪犯，在第二点集的概率)+...]。

上面的式子分子分母可以连着消掉，然后得到ans=(n-tot)/n, tot为点集个数，也就是缩点后入度为0的点。

有一种特殊情况(连通题做一道一道特殊情况...)

如果有一个单独地点(大小为1&&入度为0&&不影响其它点入度是否为0)，那么其他的都确定了，他自然也就可以肯定了，也不会对别的点有影响，不用算入tot。

Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3 using namespace std;
 4 const int maxn=1e5+5,maxm=3e5+5;
 5
 6 int pre[maxn],low[maxn],scc[maxn],clock,cnt;
 7 int head[maxn],f[maxm],e[maxm],nxt[maxm],k;
 8 int adde(int u,int v){
 9     e[++k]=v,f[k]=u;
10     nxt[k]=head[u],head[u]=k;
11 }
12 int n,m,r[maxn],a[maxn],t;
13 int size[maxn],num[maxn];
14
15 int dfs(int u){
16     pre[u]=low[u]=++clock;
17     a[++t]=u;
18     for(int i=head[u];i;i=nxt[i]){
19         int v=e[i];
20         if(!pre[v]){
21             dfs(v);
22             low[u]=min(low[u],low[v]);
23         }
24         else if(!scc[v]){
25             low[u]=min(low[u],pre[v]);
26         }
27     }
28     if(low[u]==pre[u]){
29         num[++cnt]=u;
30         while(t){
31             scc[a[t]]=cnt;
32             size[cnt]++;
33             if(a[t--]==u) break;
34         }
35     }
36 }
37
38 int pd(int x){
39     int u=num[x];
40     for(int i=head[u];i;i=nxt[i])
41         if(r[scc[e[i]]]==1) return 0;
42     return 1;
43 }
44
45 int main(){
46     scanf("%d%d",&n,&m);
47     int u,v;
48     for(int i=1;i<=m;i++){
49         scanf("%d%d",&u,&v);
50         adde(u,v);
51     }
52
53     for(int i=1;i<=n;i++)
54         if(!pre[i]) dfs(i);
55
56     for(int i=1;i<=k;i++)
57         if(scc[f[i]]!=scc[e[i]]) r[scc[e[i]]]++;
58
59     int ans=0;
60     for(int i=1;i<=cnt;i++)
61         if(!r[i]) ans++;
62
63     for(int i=1;i<=cnt;i++)
64         if(size[i]==1&&!r[i]&&pd(i)){
65             ans--;
66             break;
67         }
68
69     printf("%.6lf",(double)(n-ans)/n);
70     return 0;
71 }