leetCode 53.Maximum Subarray (子数组的最大和) 解题思路方法

Maximum Subarray

Find the contiguous subarray within an array (containing at least one number) which has the largest sum.

For example, given the array [?2,1,?3,4,?1,2,1,?5,4],

the contiguous subarray [4,?1,2,1] has the largest sum = 6.

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More practice:

If you have figured out the O(n) solution, try coding another solution using the divide and conquer approach, which is more subtle.

思路：这题在刚開始想用双指针解，可是码代码的时候发现双指针不行，感觉不是非常难的一个题。最后还是要求助网上资料。经过翻找，一个非常好的博文详解了本题的算法思想。非常清晰，故摘录在下：

http://blog.csdn.net/joylnwang/article/details/6859677

又一个经典问题。对于一个包括负值的数字串array[1...n]，要找到他的一个子串array[i...j]（0<=i<=j<=n），使得在array的全部子串中。array[i...j]的和最大。

这里我们须要注意子串和子序列之间的差别。

子串是指数组中连续的若干个元素。而子序列仅仅要求各元素的顺序与其在数组中一致，而没有连续的要求。对于一个元素数为n的数组，其含有2^n个子序列和n(n+1)/2个子串。假设使用穷举法，则至少须要O(n^2)的时间才干得到答案。卡耐基梅隆大学的Jay Kadane的给出了一个线性时间算法，我们就来看看。怎样在线性时间内解决最大子串和问题。

要说明Kadane算法的正确性，须要两个结论。

首先。对于array[1...n]，假设array[i...j]就是满足和最大的子串，那么对于不论什么k(i<=k<=j)，我们有array[i...k]的和大于0。因为假设存在k使得array[i...k]的和小于0。那么我们就有array[k+1...j]的和大于array[i...j]，这与我们假设的array[i...j]就是array中和最大子串矛盾。

其次，我们能够将数组从左到右切割为若干子串，使得除了最后一个子串之外，其余子串的各元素之和小于0，且对于全部子串array[i...j]和随意k（i<=k<j）。有array[i...k]的和大于0。

此时我们要说明的是。满足条件的和最大子串，仅仅能是上述某个子串的前缀。而不可能跨越多个子串。我们假设array[p...q]。是array的和最大子串，且array[p...q]。跨越了array[i...j]，array[j+1...k]。依据我们的分组方式，存在i<=m<j使得array[i...m]的和是array[i...j]中的最大值，存在j+1<=n<k使得array[j+1...n]的和是array[j+1...k]的最大值。

因为array[m+1...j]使得array[i...j]的和小于0。此时我们能够比較array[i...m]和array[j+1...n]。假设array[i...m]的和大于array[j+1...n]则array[i...m]>array[p...q]。否array[j+1...n]>array[p...q]。不管谁大，我们都能够找到比array[p...q]和更大的子串。这与我们的假设矛盾。所以满足条件的array[p...q]不可能跨越两个子串。

对于跨越很多其它子串的情况，因为各子串的和均为负值。所以相同能够证明存在和更大的非跨越子串的存在。

对于单元素和最大的特例，该结论也适用。

依据上述结论，我们就得到了Kadane算法的运行流程，从头到尾遍历目标数组，将数组切割为满足上述条件的子串，同一时候得到各子串的最大前缀和，然后比較各子串的最大前缀和，得到终于答案。我们以array={?2, 1, ?3, 4, ?1, 2, 1, ?5, 4}为例，来简单说明一下算法步骤。通过遍历。能够将数组切割为例如以下3个子串（-2）。（1。-3），（4。-1，2，1，-5，4）。这里对于（-2）这种情况。单独分为一组。各子串的最大前缀和为-2，1，6，所以目标串的最大子串和为6。

我的代码，上面博文的代码有些繁琐。

public class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int max = Integer.MIN_VALUE;//设置最小值
        int sum = 0;//每一个分组的和
        int i = 0;
        while(i < nums.length){
            sum += nums[i];//每一个分组的前n项和
            if(max < sum){
                max = sum;//取最大和
            }
            if(sum < 0){//假设<0。分组结束，開始下一组
                sum = 0;
            }
            i++;
        }
        return max;
    }
}