图的遍历：深度优先、广度优先
遍历
图的遍历是指从图中的某一顶点出发，按照一定的策略访问图中的每一个顶点。当然，每个顶点有且只能被访问一次。
在图的遍历中，深度优先和广度优先是最常使用的两种遍历方式。这两种遍历方式对无向图和有向图都是适用的，并且都是从指定的顶点开始遍历的。先看下两种遍历方式的遍历规则：
深度优先
深度优先遍历也叫深度优先搜索(Depth First Search)。它的遍历规则：不断地沿着顶点的深度方向遍历。顶点的深度方向是指它的邻接点方向。
具体点，给定一图G=<V,E>，用visited[i]表示顶点i的访问情况，则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历，则下一个遍历的顶点是V0的第一个邻接点Vi，接着遍历Vi的第一个邻接点Vj，……直到所有的顶点都被访问过。
所谓的第一个是指在某种存储结构中(邻接矩阵、邻接表)，所有邻接点中存储位置最近的，通常指的是下标最小的。在遍历的过程中有两种情况经常出现
- 某个顶点的邻接点都已被访问过的情况，此时需回溯已访问过的顶点。
- 图不连通，所有的已访问过的顶点都已回溯完了，仍找不出未被访问的顶点。此时需从下标0开始检测visited[i]，找到未被访问的顶点i，从i开始新一轮的深度搜索。
看一个例子
从V0开始遍历
遍历分析：V0有两个邻接点V1和V2，选择下标最小的V1遍历。接着从V1开始深度遍历，V1只有邻接点V3，也就是没有选的：遍历V3。接着从V3开始遍历，V3只有邻接点V0，而V0已经被遍历过。此时出现了上面提到的情况一，开始回溯V1，V1无未被遍历的邻接点，接着回溯V0，V0有一个未被遍历的邻接点V2，新的一轮深度遍历从V2开始。V2无邻接点，且无法回溯。此时出现了情况二，检测visited[i]，只有V4了。深度遍历完成。看到回溯，应该可以想到需要使用栈。
遍历序列是
V0->V1->V3->V2->V4。
从其它顶点出发的深度遍历序列是：
V1->V3->V0->V2->V4。
V2->V0->V1->V3->V4。
V3->V0->V1->V2->V4。
V4->V2->V0->V1->V3。
以上结果，我们稍后用于测试程序。
结合在图的实现：邻接矩阵中的代码，我们看下在邻接矩阵形式下的图的深度遍历算法：
深度优先代码
/*
深度优先搜索
从vertex开始遍历，visit是遍历顶点的函数指针
*/
void Graph::dfs(int vertex, void (*visit)(int))
{
stack<int> s;
//visited[i]用于标记顶点i是否被访问过
bool *visited = new bool[numV];
//count用于统计已遍历过的顶点数
int i, count;
for (i = 0; i < numV; i++)
visited[i] = false;
count = 0;
while (count < numV)
{
visit(vertex);
visited[vertex] = true;
s.push(vertex);
count++;
if (count == numV)
break;
while (visited[vertex])
{
for (i = 0; i < numV
&& (visited[i]
|| matrix[vertex][i] == 0 || matrix[vertex][i] == MAXWEIGHT); i++);
if (i == numV) //当前顶点vertex的所有邻接点都已访问完了
{
if (!s.empty())
{
s.pop(); //此时vertex正是栈顶，应先出栈
if (!s.empty())
{
vertex = s.top();
s.pop();
}
else //若栈已空，则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点
{
for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);
}
}
else //若栈已空，则需从头开始寻找新的、未访问过的顶点
{
for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);
}
}
else //找到新的顶点应更新当前访问的顶点vertex
vertex = i;
}
}
delete[]visited;
}
其它代码前面已经见过，就不给出了，下面看下图的广度遍历。深度遍历和广度遍历的测试，稍后一并给出。
广度优先
广度优先遍历也叫广度优先搜索(Breadth First Search)。它的遍历规则：
- 先访问完当前顶点的所有邻接点。(应该看得出广度的意思)
- 先访问顶点的邻接点先于后访问顶点的邻接点被访问。
具体点，给定一图G=<V,E>，用visited[i]表示顶点i的访问情况，则初始情况下所有的visited[i]都为false。假设从顶点V0开始遍历，且顶点V0的邻接点下表从小到大有Vi、Vj...Vk。按规则1，接着应遍历Vi、Vj和Vk。再按规则2，接下来应遍历Vi的所有邻接点，之后是Vj的所有邻接点，...，最后是Vk的所有邻接点。接下来就是递归的过程...
在广度遍历的过程中，会出现图不连通的情况，此时也需按上述情况二来进行：测试visited[i]...。在上述过程中，可以看出需要用到队列。
举个例子，还是同样一幅图：
从V0开始遍历
遍历分析：V0有两个邻接点V1和V2，于是按序遍历V1、V2。V1先于V2被访问，于是V1的邻接点应先于V2的邻接点被访问，那就是接着访问V3。V2无邻接点，只能看V3的邻接点了，而V0已被访问过了。此时需检测visited[i]，只有V4了。广度遍历完毕。
遍历序列是
V0->V1->V2->V3->V4。
从其它顶点出发的广度遍历序列是
V1->V3->V0->V2->V4。
V2->V0->V1->V3->V4。
V3->V0->V1->V2->V4。
V4->V2->V0->V1->V3。
以上结果，我们同样用于测试程序。
在邻接矩阵下，图的广度遍历算法
广度优先代码
/*
广度优先搜索
从vertex开始遍历，visit是遍历顶点的函数指针
*/
void Graph::bfs(int vertex, void(*visit)(int))
{
//使用队列
queue<int> q;
//visited[i]用于标记顶点i是否被访问过
bool *visited = new bool[numV];
//count用于统计已遍历过的顶点数
int i, count;
for (i = 0; i < numV; i++)
visited[i] = false;
q.push(vertex);
visit(vertex);
visited[vertex] = true;
count = 1;
while (count < numV)
{
if (!q.empty())
{
vertex = q.front();
q.pop();
}
else
{
for (vertex = 0; vertex < numV && visited[vertex]; vertex++);
visit(vertex);
visited[vertex] = true;
count++;
if (count == numV)
return;
q.push(vertex);
}
//代码走到这里，vertex是已经访问过的顶点
for (int i = 0; i < numV; i++)
{
if (!visited[i] && matrix[vertex][i] > 0 && matrix[vertex][i] < MAXWEIGHT)
{
visit(i);
visited[i] = true;
count ++;
if (count == numV)
return;
q.push(i);
}
}
}
delete[]visited;
}
结合两种遍历的代码，我们对同一幅图进行测试，它的主函数是
void visit(int vertex)
{
cout << setw(4) << vertex;
}
int main()
{
cout << "******图的遍历：深度优先、广度优先***by David***" << endl;
bool isDirected, isWeighted;
int numV;
cout << "建图" << endl;
cout << "输入顶点数 ";
cin >> numV;
cout << "边是否带权值，0(不带) or 1(带) ";
cin >> isWeighted;
cout << "是否是有向图，0(无向) or 1(有向) ";
cin >> isDirected;
Graph graph(numV, isWeighted, isDirected);
cout << "这是一个";
isDirected ? cout << "有向、" : cout << "无向、";
isWeighted ? cout << "有权图" << endl : cout << "无权图" << endl;
graph.createGraph();
cout << "打印邻接矩阵" << endl;
graph.printAdjacentMatrix();
cout << endl;
cout << "深度遍历" << endl;
for (int i = 0; i < numV; i++)
{
graph.dfs(i, visit);
cout << endl;
}
cout << endl;
cout << "广度遍历" << endl;
for (int i = 0; i < numV; i++)
{
graph.bfs(i, visit);
cout << endl;
}
system("pause");
return 0;
}
运行
仔细对照测试结果，我们的代码是没有问题的。
完整代码下载：图的遍历：深度优先、广度优先
小结
对于某个图来说，深度优先遍历和广度优先遍历的序列不是唯一的，但当图的存储结构一确定，它的遍历序列就是唯一的。因为当有多个候选点时，我们总是优先选择下标最小的。
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