题目：
The Euler function |
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Problem Description The Euler function phi is an important kind of function in number theory, (n) represents the amount of the numbers which are smaller than n and coprime to n, and this function has a lot of beautiful characteristics. Here comes a very easy question: suppose you are given a, b, try to calculate (a)+ (a+1)+....+ (b) |
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Input There are several test cases. Each line has two integers a, b (2<a<b<3000000). |
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Output Output the result of (a)+ (a+1)+....+ (b) |
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Sample Input 3 100 |
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Sample Output 3042 |
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Source 2009 Multi-University Training Contest 1 - Host by TJU |
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题目分析：
欧拉函数,简单题。
直接暴力这道题就能过。。。。下面简介一下欧拉函数的一些知识。
1、定义：对于正整数n，φ(n)是小于或等于n的正整数中，与n互质的数的数目。
比如：φ(8)=4。由于1。3，5，7均和8互质。
2、性质：1）若p是质数。φ(p)= p-1.
2）若n是质数p的k次幂，φ(n)=(p-1)*p^(k-1)。由于除了p的倍数都与n互质
3）欧拉函数是积性函数，若m,n互质，φ(mn)= φ(m)φ(n).
依据这3条性质我们就能够推出一个整数的欧拉函数的公式。由于一个数总能够写成一些质数的乘积的形式。
E(k)=(p1-1)(p2-1)...(pi-1)*(p1^(a1-1))(p2^(a2-1))...(pi^(ai-1))
= k*(p1-1)(p2-1)...(pi-1)/(p1*p2*...*pi)
= k*(1-1/p1)*(1-1/p2)...(1-1/pk)
在程序中利用欧拉函数例如以下性质，能够高速求出欧拉函数的值（a为N的质因素）
若( N%a ==0&&(N/a)%a ==0)则有：E(N)= E(N/a)*a;
若( N%a ==0&&(N/a)%a !=0)则有：E(N)= E(N/a)*(a-1);
代码例如以下：
/*
* a1.cpp
*
* Created on: 2015年3月19日
* Author: Administrator
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 3000001;
int phi[maxn];
/**
* 初始化欧拉数组.
* phi[8]: 表示从1~8与8互质的元素的个数
*
*/
void prepare(){
int i;
for(i = 1 ; i < maxn ; ++i){
phi[i] = i;
}
int j;
for(i = 2 ; i < maxn ; ++i){
if(phi[i] == i){
for(j = i ; j < maxn ; j += i){
phi[j] = phi[j]/i*(i-1);
}
}
}
}
int main(){
prepare();
int a,b;
while(scanf("%d%d",&a,&b)!=EOF){
long long ans = 0;
int i;
for(i = a ; i <= b ; ++i){//暴力求phi[a]到phi[b]之间的和
ans += phi[i];
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
下面贴一个TLE了的版本号：
TLE的原因非常仅仅管，由于每次算phi[i],它都掉了一次phi()。运算量太大。
/*
* POJ_2407.cpp
*
* Created on: 2013年11月19日
* Author: Administrator
*/
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1000015;
bool u[maxn];
ll su[maxn];
ll num;
ll gcd(ll a, ll b) {
if (b == 0) {
return a;
}
return gcd(b, a % b);
}
void prepare() {//欧拉筛法产生素数表
ll i, j;
memset(u, true, sizeof(u));
for (i = 2; i <= 1000010; ++i) {
if (u[i]) {
su[++num] = i;
}
for (j = 1; j <= num; ++j) {
if (i * su[j] > 1000010) {
break;
}
u[i * su[j]] = false;
if (i % su[j] == 0) {
break;
}
}
}
}
ll phi(ll x) {//欧拉函数,用于求[1,x)中与x互质的整数的个数
ll ans = 1;
int i, j, k;
for (i = 1; i <= num; ++i) {
if (x % su[i] == 0) {
j = 0;
while (x % su[i] == 0) {
++j;
x /= su[i];
}
for (k = 1; k < j; ++k) {
ans = ans * su[i] % 1000000007ll;
}
ans = ans * (su[i] - 1) % 1000000007ll;
if (x == 1) {
break;
}
}
}
if (x > 1) {
ans = ans * (x - 1) % 1000000007ll;
}
return ans;
}
int main(){
prepare();
long long a;
long long b;
while(scanf("%lld%lld",&a,&b)!=EOF){
long long ans = 0;
long long i;
for(i = a ; i <= b ; ++i){
ans += phi(i);
}
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}