一、相关定义
深度优先遍历,也有称为深度优先搜索,简称DFS。其实,就像是一棵树的前序遍历。
初始条件:图G所有顶点均未被访问过,任选一点v。
遍历过程:它从图中某个结点v出发,访问此顶点,然后依次从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图,直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。若图中尚有顶点未被访问,则另选图中一个未曾被访问的顶点作起始点,重复上述过程,直至图中的所有顶点都被访问到为止。
DFS适合此类题目
- 给定初始状态跟目标状态,要求判断从初始状态到目标状态是否有解。
二、算法过程
以如下图的无向图G4为例,进行图的深度优先搜索:
假设从顶点v1出发进行搜索,在访问了顶点v1之后,选择邻接点v2。因为v2未曾访问,则从v2出发进行搜索。依次类推,接着从v4 、v8 、v5出发进行搜索。在访问了v5之后,由于v5的邻接点都已被访问,则搜索回到v8。由于同样的理由,搜索继续回到v4,v2直至v1,此时由于v1的另一个邻接点未被访问,则搜索又从v1到v3,再继续进行下去由此,得到的顶点访问序列为:
显然,这是一个递归的过程。为了在遍历过程中便于区分顶点是否已被访问,需附设访问标志数组vis[0…n-1], ,其初值为false,一旦某个顶点被访问,则其相应的分量置为true。
三、代码实现
我们用邻接矩阵的方式,则代码如下所示。
/* 图的DFS遍历 */ //邻接矩阵形式实现 //顶点从1开始 #include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int maxn = 105; //最大顶点数 typedef int VertexType; //顶点类型 bool vis[maxn]; struct Graph{ //邻接矩阵表示的图结构 VertexType vex[maxn]; //存储顶点 int arc[maxn][maxn]; //邻接矩阵 int vexnum,arcnum; //图的当前顶点数和弧数 }; void createGraph(Graph &g) //构建无向图 { cout<<"请输入顶点数和边数:"; cin>>g.vexnum>>g.arcnum; //构造顶点向量 cout<<"请依次输入各顶点:\n"; for(int i=1;i<=g.vexnum;i++){ scanf("%d",&g.vex[i]); } //初始化邻接矩阵 for(int i=1;i<=g.vexnum;i++){ for(int j=1;j<=g.vexnum;j++){ g.arc[i][j] = 0; } } //构造邻接矩阵 VertexType u,v; //分别是一条弧的弧尾(起点)和弧头(终点) printf("每一行输入一条弧依附的顶点(空格分开):\n"); for(int i=1;i<=g.arcnum;i++){ cin>>u>>v; g.arc[u][v] = g.arc[v][u] = 1; } } //邻接矩阵的深度优先递归算法 void DFS(Graph g,int i) { vis[i] = true; printf("%d\t",g.vex[i]); //打印顶点 for(int j=1;j<=g.vexnum;j++){ //遍历每个顶点 if(g.arc[i][j]==1 && !vis[j]){ //如果顶点j是顶点i的未访问的邻接点 DFS(g,j); //深度优先搜索顶点j } } } //邻接矩阵的深度遍历操作 void DFSTraverse(Graph g) { for(int i=1;i<=g.vexnum;i++){ vis[i] = false; //初始化所有顶点状态都是未访问过状态 } for(int i=1;i<=g.vexnum;i++){ if(!vis[i]){ DFS(g,i); //对未访问的顶点调用DFS,若是连通图,只会执行一次 } } } int main() { Graph g; createGraph(g); DFSTraverse(g); return 0; }
如果使用的是邻接表存储结构,其DFSTraverse函数的代码几乎是相同的,只是在递归函数中因为将数组换成了链表而有不同,代码如下。
//邻接表的深度递归算法 void DFS(GraphList g, int i) { EdgeNode *p; vis[i] = true; printf("%d ", g->adjList[i].data); //打印顶点,也可以其他操作 p = g->adjList[i].firstedge; while(p) { if(!vis[p->adjvex]) { DFS(g, p->adjvex); //对访问的邻接顶点递归调用 } p = p->next; } } //邻接表的深度遍历操作 void DFSTraverse(GraphList g) { int i; for(i = 0; i < g.numVertexes; i++) { vis[i] = false; } for(i = 0; i < g.numVertexes; i++) { if(!vis[i]) { DFS(g, i); } } }
分析上述算法,在遍历时,对图中每个顶点至多调用一次DFS 函数,因为一旦某个顶点被标志成已被访问,就不再从它出发进行搜索。因此,遍历图的过程实质上是对每个顶点查找其邻接点的过程。其耗费的时间则取决于所采用的存储结构。
当用二维数组表示邻接矩阵图的存储结构时,查找每个顶点的邻接点所需时间为O(n2) ,其中n为图中顶点数。
而当以邻接表作图的存储结构时,找邻接点所需时间为O(e),其中e 为无向图中边的数或有向图中弧的数。由此,当以邻接表作存储结构时,深度优先搜索遍历图的时间复杂度为O(n+e) 。
对比两个不同的存储结构的深度优先遍历算法,显然对于点多边少的稀疏图来说,邻接表结构使得算法在时间效率上大大提高。
四、沙场练兵
题目一、滑雪
题目二、棋盘问题
五、知识扩展
不知道你注意到没,在深度/广度搜索的过程中,其实相邻节点的加入如果是有一定策略的话,对算法的效率是有很大影响的,你可以做一下简单马周游跟马周游这两个题,你就有所体会,你会发现你在搜索的过程中,用一定策略去访问相邻节点会提升很大的效率。 这些运用到的贪心的思想,你可以再看看启发式搜索的算法,例如A*算法等。