题目描述
给定一个nxm的网格，请计算三点都在格点上的三角形共有多少个。下图为4x4的网格上的一个三角形。注意三角形的三点不能共线。
输入格式
输入一行，包含两个空格分隔的正整数m和n。
输出格式
输出一个正整数，为所求三角形数量。
输入输出样例
输入 #1
2 2
输出 #1
76
说明/提示
数据范围
bzoj上是1<=m,n<=1000
思路
- 每个顶点都在格点上的三角形，有且只有一个可以被它完全覆盖的网格。所以只要求出原矩形当中所有子矩形的完全覆盖三角形的数量，就可以不重不漏地找出顶点都在格点上的三角形。
——但是子矩形好多啊，枚举左上角和右下角，至少是n^2m^2的数量级哇qwq
——注意到我们并不关心每个子矩形的位置，而只关心它们的长宽，以及长宽均相同的矩形的数目，所以枚举子矩形的长 i 和宽 j，则i∗j的矩形数量为(n−i+1)∗(m−j+1)，子矩阵数量级降为nm。
至此，原问题转化为
给定网格的长宽，迅速求解完全覆盖网格的三角形的数目
- 显然对于一个i∗j的网格(这里i，j指的是空格的数量而非格点，上图i=6,j=10)，固定顶点的位置有四种，每种对应的另外两个顶点的位置有(i−1)∗(j−1)种(B C不能与N P Q重合)，共4∗(i−1)∗(j−1)种。
分析两个顶点在MNPQ角上的情况。不妨设A与M重合。此时另外一个角上的点（不妨设为点B）有三种情况：
1、B与N重合。此时C一定在QP上。共(i−1)种情况。
2、B与Q重合。此时C一定在NP上。共(j−1)种情况。
3、B与P重合。
这是比较麻烦的一种状态，因为此时C点可以在网格中能构成三角形的任意一处。但是我们注意到，如果线段AB除了经过M P之外，还经过了一些其他格点，C是不能与它们重合的。
那么有多少个格点被AB穿过呢qwq？
显然，不包括A本身，有gcd(i,j)−1个（至于为什么，请读者自己思考）
所以第三种情况的方案数是(i+1)∗(j+1)−4−gcd(i,j)+1（这里−4是因为C点不能放在网格的四个角上）。
注意到以上三种情况都可以反转，从而得到另一组与其一一对应的方案。
分析三个顶点在MNPQ角上的情况。显然只有四种。
综上，对于一个长宽为i,j的网格，可以把它完全覆盖的三角形的个数
S=4∗(i−1)∗(j−1)+2∗[(i−1)+(j−1)+(i+1)∗(j+1)−4−gcd(i,j)+1]+4
=6∗i∗j−2∗gcd(i,j)
枚举子矩阵的复杂度为mn，单次求解gcd的复杂度为log(m+n),总复杂度O(mnlog(m+n)),实际运行跑的飞起。
代码：
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
long long n,m,ans=0;
long long gcd(long long a,long long b) {
if(a<b)
swap(a,b);
if(a%b==0)
return b;
else
return gcd(b,a%b);
}
int main () {
scanf("%lld%lld",&n,&m);
for(long long i=1; i<=n; i++)
for(long long j=1; j<=m; j++)
ans+=(n-i+1)*(m-j+1)*(6*i*j-2*gcd(i,j));
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}
原文地址：https://www.cnblogs.com/mysh/p/11296778.html