「刷题」Color 群论

　　这道题乍一看挺水的，直接$ Ploya $就可以了，可是再看看数据范围：

$ n\lep 1e9 $

那就是有1e9种置换，这不歇比了。

于是考虑式子的优化。

首先证明，转i次的置换的每个循环结大小是 $ gcd(i,n) $

证明：

　　首先设第x个元素的位置是p，置换种类是i，循环k次后回到原点，k也就是循环结个数。

　　$ ik+p \equiv p (mod n) $

　　$ ik \equiv 0 (mod n) $

　　$ n|ik $

　　$ i|ik $

我们要让k最小，那么：

　　$ ik=lcm(i,n) $

　　$ ik= \frac{in}{gcd(i,n)} $

　　$ k= \frac{n}{gcd(i,n)} $

每个循环结都一样大，所以循环结个数是：

　　$ num= \frac{n}{\frac{n}{gcd(i,n)}} =gcd(i,n) $

证毕。

接着推polya的式子：

[s]是单位函数，s成立返回1，否则返回0。

$ ans=\frac{1}{n} \sum \limits_{i=1}^n n^{gcd(i,n)} $

$ 　　=\sum \limits_{i=1}^n n^{gcd(i,n)-1} $

$ 　　=\sum \limits_{i=1}^n \sum \limits_{d|n} n^{d-1} $

$ 　　=\sum \limits_{d|n} n^{d-1} \sum \limits_{i=1}^{n}[gcd(i,n)==d)]　　$

$ 　　=\sum \limits_{d|n} n^{d-1} \sum \limits_{i=1}^{\frac{n}{d}}[gcd(i,\frac{i,n})==d] $

$ 　　=\sum \limits_{d|n} n^{d-1} \phi{frac{n}{d}} $

可以分解质因子然后dfs遍历所有因数，顺便求出欧拉函数。

问题解决。

原文地址：https://www.cnblogs.com/Lrefrain/p/11231018.html