堆排序结合了插入排序和归并排序的有点：它空间复杂度是O(1), 时间复杂度是O(nlgn).
要讲堆排序，先讲数据结构“堆”
堆：
堆是用数组来存放一个完全二叉树的数据结构。假设数组名是A，树的根节点存放在A[1]。它的左孩子存放在A[2]，右孩子存放在A[3]
即：对于某个下标位i的节点，它的左孩子是A[2i], 右孩子是A[2i+1]. 父节点是A[i/2]
PARENT(i) return ?i/2? LEFT(i) return 2i RIGHT(i) return 2i + 1 这个结论很简单也很好记忆，只是有一个小问题：算法导论的数组下标是从1开始的。而现实中大部分流行语言的数组下标却是从0开始的。这里有一个小技巧是将A[0]元素保留不使用，就可以规避掉这个问题。 不过在C++的标准库STL，或者是Golang的container/heap/heap.go里，并没有使用这个小技巧。公式调整为
PARENT(i) return ?(i-1）/2? LEFT(i) return 2i + 1 RIGHT(i) return 2i + 2
不建议记这个公式，会造成混乱。只需要知道有这么一回事就行。 堆有两个应用：
- 堆排序时使用的是最大堆。
- 优先级队列使用的是最小堆。
堆的基本函数有：
max_heapify。它是保持最大堆性质的关键函数。运行时间是o(lgn);
build_max_heap 以线性时间运行，可以在无序的输入数组基础上构建出最大堆
heapsort 运行时间是O(nlgn), 可以对一个数组进行原地排序。
max_heap_insert, heap_extract_max, heap_increase_key和heap_maximum运行时间为O(lgn),可以让堆结构作为优先队列使用。
书上递归版本的max_heapify
#define PARENT(i) ((i)/2)
#define LEFT(i) (2*(i))
#define RIGHT(i) (2*(i)+1)
void max_heapify(int* A, int heap_size, int i) {
int l = LEFT(i);
int r = RIGHT(i);
int largest = 0;
if ((l < heap_size) && (A[l] > A[i])) {
largest = l;
}else {
largest = i;
}
if ((r < heap_size) && A[r] > (A[largest])) {
largest = r;
}
if (largest != i) {
int temp = A[i];
A[i] = A[largest];
A[largest] = temp;
max_heapify(A,heap_size,largest);
}
}
在算法的每一步里，从元素A[i], A[LEFT(i)], A[RIGHT(i)]中找出最大的。并将其下标存放在largest中。如果A[i]是最大的，则以为跟的子树已经是最大堆，程序结束。
否则i的某个子节点中有最大元素，则交换 A[i]和A[largest]，从而使i及其子女满足堆性质。下标largest的节点在交换后的值是A[i],以该节点为根的字数又有可能违反最大堆性质，因此要对子树递归调用max_heapify。递归调用的次数是树的高度。而完全二叉树的高度是lgn, 所以该算法的时间复杂度是O(lgn)
void build_max_heap(int *A, int heap_size) {
int i;
for (i = heap_size / 2; i >0; i ++) {
max_heapify(A, heap_size, i);
}
}
为了证明算法是正确的，我们用循环不变式来分析一下： 循环中不变的量是每一次迭代开始时，节点i+1, i+2,...,n都是一个最大堆的根。
- 初始化：在第一轮循环迭代之前，i=(n/2)。 节点(n/2)+1, (n/2) + 2...,n都是叶节点，也是平凡最大堆的根。
- 保持：节点i的子节点的编号均比i大。于是根据循环不变式这些子节点都是最大堆的根。着也是调用函数max_heapify以是节点i成为最大堆的根的前提条件。此外，max_heapify的调用保持了节点i+1,i+2，。。。。。n成为最大堆的根的性质。在循环中递减，记为下一次迭代重新建立了循环不变式。
- 终止：过程终止时，i=0根据循环不变式，我们知道节点1,2,...n中，每个都是最大堆的根，节点1就是一个最大堆的根。
原文地址：https://www.cnblogs.com/jackson-zhou/p/8337892.html