洛谷 P3731 [HAOI2017]新型城市化【最大流（二分图匹配）+tarjan】

我到底怎么建的图为啥要开这么大的数组啊？！

神题神题，本来以为图论出不出什么花来了。

首先要理解‘团’的概念，简单来说就是无向图的一个完全子图，相关概念详见度娘。

所以关于团一般都是NP问题，只有二分图例外。而题目中有这样一句话“n座城市可以恰好被划分为不超过两个城市群”，并且给出的是没有的边，也就是这个图的补图，两个团就很显然表示这个补图是个二分图（我一开始还考虑1个团咋整后来发现根本不用整= =），模型就变成了二分图的最大独立集，考虑最大独立集=n-最大匹配，那么只要求出删掉哪些边会让最大匹配减少，也就是哪些边一定在最大匹配里即可。

先看一下大概步骤：

1.黑白染色，建出二分图（在这里用dinic求最大匹配因为懒得重建图这样tarjan直接按着满流边跑即可

2.dinic

3.顺着满流边用tarjan求scc

4.把两端不在同一个强连通分量里、两端不是s或t、满流的边加进ans数组里，排个序输出

为什么要这样做呢？

首先没满流的边一定不在最大匹配里就不说了。

然后对于两端能缩到一个scc里的边，一个点的一入一出都可能与它匹配，所以不一定在最大匹配里。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1000005,inf=1e9;
int n,m,h[N],cnt,c[N],s,t,le[N],dfn[N],low[N],tot,st[N],top,bl[N],con,co,x[N],y[N];
bool v[N];
struct qwe
{
    int ne,no,to,va;
}e[N*20];
struct qw
{
    int x,y;
    qw(const int X=0,const int Y=0)
    {
        x=X,y=Y;
        if(x>y)
            swap(x,y);
    }
}ans[N];
bool cmp(const qw &a,const qw &b)
{
    return a.x<b.x||(a.x==b.x&&a.y<b.y);
}
int read()
{
    int r=0,f=1;
    char p=getchar();
    while(p>‘9‘||p<‘0‘)
    {
        if(p==‘-‘)
            f=-1;
        p=getchar();
    }
    while(p>=‘0‘&&p<=‘9‘)
    {
        r=r*10+p-48;
        p=getchar();
    }
    return r*f;
}
void add(int u,int v,int w)
{
    cnt++;
    e[cnt].ne=h[u];
    e[cnt].no=u;
    e[cnt].to=v;
    e[cnt].va=w;
    h[u]=cnt;
}
void ins(int u,int v,int w)
{//cout<<u<<" "<<v<<endl;
    add(u,v,w);
    add(v,u,0);
}
void dfss(int u,int col)
{
    c[u]=col;
    v[u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
        if(!v[e[i].to])
            dfss(e[i].to,col^1);
}
bool bfs()
{
    queue<int>q;
    memset(le,0,sizeof(le));
    le[s]=1;
    q.push(s);
    while(!q.empty())
    {
        int u=q.front();
        q.pop();
        for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
            if(e[i].va>0&&!le[e[i].to])
            {
                le[e[i].to]=le[u]+1;
                q.push(e[i].to);
            }
    }
    return le[t];
}
int dfs(int u,int f)
{//cout<<u<<" "<<f<<endl;
    if(!f||u==t)
        return f;
    int us=0;
    for(int i=h[u];i&&us<f;i=e[i].ne)
        if(le[e[i].to]==le[u]+1&&e[i].va>0)
        {
            int t=dfs(e[i].to,min(e[i].va,f-us));
            e[i].va-=t;
            e[i^1].va+=t;
            us+=t;
        }
    if(!us)
        le[u]=0;
    return us;
}
void dinic()
{
    while(bfs())
        dfs(s,inf);
}
void tarjan(int u)
{
    dfn[u]=low[u]=++tot;
    v[st[++top]=u]=1;
    for(int i=h[u];i;i=e[i].ne)
        if(!e[i].va)
        {
            if(!dfn[e[i].to])
            {
                tarjan(e[i].to);
                low[u]=min(low[u],low[e[i].to]);
            }
            else if(v[e[i].to])
                low[u]=min(low[u],dfn[e[i].to]);
        }
    if(dfn[u]==low[u])
    {
        con++;
        while(st[top]!=u)
        {
            bl[st[top]]=con;
            v[st[top--]]=0;
        }
        bl[st[top]]=con;
        v[st[top--]]=0;
    }
}
int main()
{
    n=read(),m=read();
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        x[i]=read(),y[i]=read();
        add(x[i],y[i],0);add(y[i],x[i],1);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!v[i])
            dfss(i,2);
    memset(h,0,sizeof(h));
    cnt=1;
    s=0,t=n+1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(c[i]==2)
            ins(s,i,1);
        else
            ins(i,t,1);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        if(c[x[i]]==2)
            ins(x[i],y[i],1);
        else
            ins(y[i],x[i],1);
    }//cout<<"OKBUILD"<<endl;
    dinic();//cout<<"OKDINIC"<<endl;
    memset(v,0,sizeof(v));
    for(int i=1;i<=n;i++)
        if(!dfn[i])
            tarjan(i);
    for(int i=2;i<=cnt;i+=2)
        if(!e[i].va&&bl[e[i].no]!=bl[e[i].to]&&e[i].no!=s&&e[i].no!=t&&e[i].to!=s&&e[i].to!=t)
            ans[++co]=qw(e[i].no,e[i].to);
    sort(ans+1,ans+1+co,cmp);
    printf("%d\n",co);
    for(int i=1;i<=co;i++)
        printf("%d %d\n",ans[i].x,ans[i].y);
    return 0;
}

原文地址：https://www.cnblogs.com/lokiii/p/8524897.html