定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) :设P1、P2是直线L上的两点,P是L上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。
若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式)
x=(x1+λx2)/(1+λ),
y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式)
三点共线定理 :若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 。
三角形重心判断式 :在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 。
向量共线的重要条件 : 若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。 a//b的重要条件是 xy‘-x‘y=0。
零向量0平行于任何向量。
向量垂直的充要条件
a⊥b的充要条件是 a?b=0。
a⊥b的充要条件是 xx‘+yy‘=0。
零向量0垂直于任何向量.
1、向量的加法
向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
AB+BC=AC。
a+b=(x+x‘,y+y‘)。
a+0=0+a=a。
向量加法的运算律:
交换律:a+b=b+a;
结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。
2、向量的减法
如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0
AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减”
a=(x,y) b=(x‘,y‘) 则 a-b=(x-x‘,y-y‘).
3、向量的数量积
定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π
定义:两个向量的数量积(内积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣。
向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x‘+y?y‘。
向量的数量积的运算律
a?b=b?a(交换律);
(λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律);
(a+b)?c=a?c+b?c(分配律);
向量的数量积的性质
a?a=|a|的平方。
a⊥b 〈=〉a?b=0。
|a?b|≤|a|?|b|。
向量的数量积与实数运算的主要不同点
1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。
2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c。
3、|a?b|≠|a|?|b|
4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
4、数乘向量
实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。
当λ>0时,λa与a同方向;
当λ<0时,λa与a反方向;
当λ=0时,λa=0,方向任意。
当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。
注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。
实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。
当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍;
当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。
数与向量的乘法满足下面的运算律
结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。
向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa.
数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb.
数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。
5、向量的向量积 、外积
定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。
如果向量是二维的 :( a = (ax, by) , b = (bx, by) ),那么a x b = ax * by - ay * bx = |a| * |b| * sin<a, b>
如果向量是三维的 :a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz); 则 a x b = (ay * bz - by * az, az * bx - ax * bz, ax * by - ay * bx);符合三维矩阵算法
向量的向量积性质:
∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。
a×a=0。
a‖b〈=〉a×b=0。
向量的向量积运算律
a×b=-b×a;
(λa)×b=λ(a×b)=a×(λb);
(a+b)×c=a×c+b×c.
注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。
向量的三角形不等式
1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣;
① 当且仅当a、b反向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。
2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。
① 当且仅当a、b同向时,左边取等号;
② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。
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