向量及向量运算

定比分点公式(向量P1P=λ?向量PP2) :设P1、P2是直线L上的两点,P是L上不同于P1、P2的任意一点。则存在一个实数 λ,使 向量P1P=λ?向量PP2,λ叫做点P分有向线段P1P2所成的比。 
  若P1(x1,y1),P2(x2,y2),P(x,y),则有 OP=(OP1+λOP2)(1+λ);(定比分点向量公式) 
  x=(x1+λx2)/(1+λ), 
  y=(y1+λy2)/(1+λ)。(定比分点坐标公式) 
 
  三点共线定理 :若OC=λOA +μOB ,且λ+μ=1 ,则A、B、C三点共线 。
  三角形重心判断式 :在△ABC中,若GA +GB +GC=O,则G为△ABC的重心 。
向量共线的重要条件 : 若b≠0,则a//b的重要条件是存在唯一实数λ,使a=λb。 a//b的重要条件是 xy‘-x‘y=0。 
  零向量0平行于任何向量。 
向量垂直的充要条件 
  a⊥b的充要条件是 a?b=0。 
  a⊥b的充要条件是 xx‘+yy‘=0。 
  零向量0垂直于任何向量.
   
1、向量的加法 
  向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 
  AB+BC=AC。 
  a+b=(x+x‘,y+y‘)。 
  a+0=0+a=a。 
  向量加法的运算律: 
  交换律:a+b=b+a; 
  结合律:(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法 
  如果a、b是互为相反的向量,那么a=-b,b=-a,a+b=0. 0的反向量为0 
  AB-AC=CB. 即“共同起点,指向被减” 
  a=(x,y) b=(x‘,y‘) 则 a-b=(x-x‘,y-y‘). 
   
3、向量的数量积 
  定义:已知两个非零向量a,b。作OA=a,OB=b,则角AOB称作向量a和向量b的夹角,记作〈a,b〉并规定0≤〈a,b〉≤π 
  定义:两个向量的数量积(内积)是一个数量,记作a?b。若a、b不共线,则a?b=|a|?|b|?cos〈a,b〉;若a、b共线,则a?b=+-∣a∣∣b∣。 
  向量的数量积的坐标表示:a?b=x?x‘+y?y‘。 
  向量的数量积的运算律 
  a?b=b?a(交换律); 
  (λa)?b=λ(a?b)(关于数乘法的结合律); 
  (a+b)?c=a?c+b?c(分配律); 
  向量的数量积的性质 
  a?a=|a|的平方。 
  a⊥b 〈=〉a?b=0。 
  |a?b|≤|a|?|b|。 
  向量的数量积与实数运算的主要不同点 
  1、向量的数量积不满足结合律,即:(a?b)?c≠a?(b?c);例如:(a?b)^2≠a^2?b^2。 
  2、向量的数量积不满足消去律,即:由 a?b=a?c (a≠0),推不出 b=c。 
  3、|a?b|≠|a|?|b| 
  4、由 |a|=|b| ,推不出 a=b或a=-b。
 
4、数乘向量 
  实数λ和向量a的乘积是一个向量,记作λa,且∣λa∣=∣λ∣?∣a∣。 
  当λ>0时,λa与a同方向; 
  当λ<0时,λa与a反方向; 
  当λ=0时,λa=0,方向任意。 
  当a=0时,对于任意实数λ,都有λa=0。 
  注:按定义知,如果λa=0,那么λ=0或a=0。 
  实数λ叫做向量a的系数,乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。 
  当∣λ∣>1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上伸长为原来的∣λ∣倍; 
  当∣λ∣<1时,表示向量a的有向线段在原方向(λ>0)或反方向(λ<0)上缩短为原来的∣λ∣倍。 
  数与向量的乘法满足下面的运算律 
  结合律:(λa)?b=λ(a?b)=(a?λb)。 
  向量对于数的分配律(第一分配律):(λ+μ)a=λa+μa. 
  数对于向量的分配律(第二分配律):λ(a+b)=λa+λb. 
  数乘向量的消去律:① 如果实数λ≠0且λa=λb,那么a=b。② 如果a≠0且λa=μa,那么λ=μ。

5、向量的向量积 、外积
  定义:两个向量a和b的向量积(外积、叉积)是一个向量,记作a×b。a×b的方向是:垂直于a和b,且a、b和a×b按这个次序构成右手系。若a、b共线,则a×b=0。 
如果向量是二维的 :( a =   (ax, by) , b = (bx, by)   ),那么a x b = ax * by - ay * bx = |a| * |b| * sin<a, b>
如果向量是三维的 :a = (ax, ay, az), b = (bx, by, bz); 则 a x b = (ay * bz - by * az, az * bx - ax * bz, ax * by - ay * bx);符合三维矩阵算法
  向量的向量积性质: 
  ∣a×b∣是以a和b为边的平行四边形面积。 
  a×a=0。 
  a‖b〈=〉a×b=0。 
  向量的向量积运算律 
  a×b=-b×a; 
  (λa)×b=λ(a×b)=a×(λb); 
  (a+b)×c=a×c+b×c. 
  注:向量没有除法,“向量AB/向量CD”是没有意义的。 
   
向量的三角形不等式 
  1、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a+b∣≤∣a∣+∣b∣; 
  ① 当且仅当a、b反向时,左边取等号; 
  ② 当且仅当a、b同向时,右边取等号。 
  2、∣∣a∣-∣b∣∣≤∣a-b∣≤∣a∣+∣b∣。 
  ① 当且仅当a、b同向时,左边取等号; 
  ② 当且仅当a、b反向时,右边取等号。

原文地址:https://www.cnblogs.com/wang-jin-fu/p/8279725.html

时间: 2024-10-13 14:51:01

向量及向量运算的相关文章

R简单算术操作符&lt;函数和+-*/&gt;,缺失值,正则向量,向量运算&lt;索引&gt;(二)

赋值操作 x <- c(1,2,3); x = c(1,2,3); c(1,2,3) -> x; assign("x", c(1,2,3)); 这四种形式在大部分时候都能达到一致的效果.推荐使用第一种 1:向量的定义 一串有序数值构成的数值向量(vector) ,创建一个向量我们使用c(num1,num2,num3); 在 R 环境里面,单个的数值也是被看作长度为1的向量. 1.1 向量的基本运算 在算术表达式中使用向量将会对该向量的每一个元素都进行同样算术运算.出现 在同

sdut 2603:Rescue The Princess(第四届山东省省赛原题,计算几何,向量旋转 + 向量交点)

Rescue The Princess Time Limit: 1000ms   Memory limit: 65536K  有疑问?点这里^_^ 题目描述 Several days ago, a beast caught a beautiful princess and the princess was put in prison. To rescue the princess, a prince who wanted to marry the princess set out immedia

[您有新的未分配科技点]计算几何入门(1):点,向量以及向量的简单应用

在打了一阵数据结构之后,老师表示"今天晚上让学长给你们讲一下计算几何"--然后就死了.jpg 昨天晚上一直在推数学的式子以及回顾讲课的笔记--计算几何特点就是多而杂,即使是入门部分也是如此-- 首先,我们从二维的几何问题开始处理. 我们知道,高中解析几何计算几何的基础是向量(Vector)和点(Point),所以我们先来表示这两个概念: 在计算几何中,点和向量一般用结构体来存储,像这样: 1 struct Point 2 { 3 double x,y,rad; 4 Point(doub

反射向量 及 向量投影

求反射向量 在图形学中,计算光照模型时,经常需要求取反射向量,一般的shader函数库都提供计算反射向量的方法,下面介绍一下如何手动计算反射向量. 给定入射光线向量I和平面法向量N,求反射向量R,如下图.为了方便计算,这里假定I和N都是单位向量(模为1,编程时可先将I和N单位化) 方法一 设入射光线向量I和反射平面的法向量N之间的夹角为theta.连接I的始端和R的末端,则有 R = 2P - I              (1) 现在问题变成了如何求取P,设入射点0到P与N的交点的向量为S,那

第五章:向量运算

第1节:零向量 1.零向量的概念 对于任意向量x,都有x+y=x,则x被称为零向量.例如,3D零向量为[0 0 0].零向量非常特殊,因为它是唯一大小为零的向量,并且唯一一个没有方向的向量. 第2节:负向量 1.负向量的概念 对于向量x,如果x+(-x)=0,则-x就是负向量. 2.负向量的运算法则 将此法则应用到2D,3D,4D中,则 -[x y] = [-x -y] -[x y z] = [-x -y -z] -[w x y z] = [-w -x -y -z] 3.负向量的几何解释 向量为

3D数学读书笔记——向量运算及在c++上的实现

本系列文章由birdlove1987编写,转载请注明出处. 文章链接: http://blog.csdn.net/zhurui_idea/article/details/24782661 开始之前:接上上篇说的,张宇老师说过线性代数研究的就是向量.其实严谨的说,数学中专门研究向量的分之称作线性代数,线性代数是一个非常有趣并且应用广泛的研究 领域,但它与3D数学关注的领域并不相同.3D数学主要关心向量和向量运算的几何意义. 零向量:任何集合,都存在 the additive identity el

(转载)3D 图形编程的数学基础(1) 向量及其运算

原文地址:http://blog.csdn.net/vagrxie/article/details/4960473 版权声明:本作品由九天雁翎创作,采用知识共享署名-非商业性使用 4.0 国际许可协议进行许可.http://www.jtianling.com 目录(?)[+] write by 九天雁翎(JTianLing) -- blog.csdn.NET/vagrxie 讨论新闻组及文件 Technorati 标签: 向量,3D,坐标系,规范化,点积,叉积 说明 因为大学时在高等数学课程中学

向量运算

1.零向量 加性单位元:满足y+x=y n维向量集合的加性单位元就是n维零向量 运算法则:例如3d零向量表示为:[0,0,0] 几何解释:没有位移 2.负向量 运算法则: 每个分量都变负 数学表达: 几何解释: 向量变负,将得到一个和原来向量大小相等,方向相反的向量. 3.向量的大小(长度和模) 运算法则: n维向量大小计算公式为 几何解释: 2d中任意向量v能构造一个以v为斜边的直角三角形如下图所示 4.标量与向量乘法 运算法则: 几何解释: 效果是以因子|k|缩放向量的长度,例如想让向量长度

word2vec词向量训练及中文文本相似度计算

本文是讲述如何使用word2vec的基础教程,文章比较基础,希望对你有所帮助! 官网C语言下载地址:http://word2vec.googlecode.com/svn/trunk/ 官网Python下载地址:http://radimrehurek.com/gensim/models/word2vec.html 1.简单介绍 参考:<Word2vec的核心架构及其应用 · 熊富林,邓怡豪,唐晓晟 · 北邮2015年> <Word2vec的工作原理及应用探究 · 周练 · 西安电子科技大学