树的直径

*总结的别人博客

树的直径(Diameter)是指树上的最长简单路。
直径的求法：两遍BFS (or DFS)
任选一点u为起点，对树进行BFS遍历，找出离u最远的点v
以v为起点，再进行BFS遍历，找出离v最远的点w。则v到w的路径长度即为树的直径
*简单证明
于是原问题可以在O(E)时间内求出

关键在于证明第一次遍历的正确性，也就是对于任意点u，距离它最远的点v一定是最长路的一端。
如果u在最长路上，那么v一定是最长路的一端。可以用反证法：假设v不是最长路的一端，则存在另一点v’使得(u→v’)是最长路的一部分，于是len(u→v’) > len(u→v)。但这与条件“v是距u最远的点”矛盾。
如果u不在最长路上，则u到其距最远点v的路与最长路一定有一交点c，且(c→v)与最长路的后半段重合(why?)，即v一定是最长路的一端

BFS

DFS

一张无向图中，给定图中一点，以最短路径长度当作距离，找出改点最远的一点，这两点之间的距离就叫做偏心距。

要计算一张无向图的半径，只要先算好两点之间最短路径，然后按定义来算即可。

先用floyd  再搜索最长的路径（即为直径）。

 1 int d[10][10];  // adjacency matrix
 2 int ecc[10];    // 各點的偏心距
 3
 4 void diameter_radius()
 5 {
 6     // Floyd-Warshall Algorithm
 7     for (int k=0; k<10; ++k)
 8         for (int i=0; i<10; ++i)
 9             for (int j=0; j<10; ++j)
10                 d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
11
12     // 計算偏心距
13     memset(ecc, 0x7f, sizeof(ecc));
14     for (int i=0; i<10; ++i)
15         for (int j=0; j<10; ++j)
16             ecc[i] = min(ecc[i], d[i][j]);
17
18     // 計算直徑和半徑
19     int diameter = 0;
20     int radius = 1e9;
21     for (int i=0; i<10; ++i)
22     {
23         diameter = max(diameter, ecc[i]);
24         radius   = min(radius  , ecc[i]);
25     }
26
27 /*
28     // 直徑也可以這樣算
29     for (int i=0; i<10; ++i)
30         for (int j=0; j<10; ++j)
31             diameter = max(diameter, d[i][j]);
32 */
33 }

floyd

一棵樹的各種直徑一定會相交在同一點（同一群點）。

1.
反證法。
現在有兩條分開的直徑，
可是一棵樹上各點都得連通，
所以這兩條分開的直徑，中間一定有某處互相連接，
一旦連接起來，勢必變成更長的直徑，矛盾。
故所有直徑必相交。

2.
反證法。
現在已有兩條直徑相交在某一點，
如果另外一條直徑與這兩條直徑相交在另一點，
勢必變成更長的直徑，矛盾。
故所有直徑必相交在同一點（同一群點）。