Hotelling transform,霍特林变换

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最近在细看一篇论文并且实现里面的方法，有一节是依靠hotelling变换实现人脸矫正，方法比较简单，不幸的是里面的公式是错的，所以在这里写一下原理顺带附上MATLAB实现。

假设有一组人脸数据P，P是3xN维的矩阵，每一列代表三维空间中的一个点，N列代表N个点，如下：

数据的均值表示为m，相当于数据的重心：

P的协方差C可以表示为下式，注意C是3x3的矩阵

协方差C的特征向量可以通过如下求解：

其中V是特征向量v1,v2,v3（因为C是3x3的矩阵，所以特征向量只可能有三个）构成的矩阵，D是特征值d1,d2,d3构成的对角矩阵，特征向量和特征值一一对应，求解的MATLAB在下面，要说明的是MATLAB里的eig函数得出的V是按照D升序排列的，就是d1<d2<d3，后面要变换一下。

下面是hotelling变换的关键一步：

其中U是这样定义的，V=[v1;v2;v3]，那么U=[v3;v2;v1]^T，就是说要按照D降序排列然后还要转置一下。

MATLAB实现如下：

感觉这个hotelling和PCA有些像，hotelling找到数据分布最大的三个方向，然后将数据整体旋转到这三个方向上来，以后有时间再补充详细原理。最终得到的旋转人脸如下，因为最初的人脸没什么旋转，所以得到的结果效果也不明显，而且处理过程要多次迭代到V不再变化才能矫正姿态，我这里只做了一次变换。

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