题意:随机选取x1,a,b,根据公式xi=(a*xi-1+b)%10001得到一个长度为2*n的序列,奇数项作为输入,求偶数项,若有多种,随机输出一组答案。
思路:a和b均未知,可以考虑枚举a和b,时间复杂度为10000*10000*100,但是题目数据比较水,这样枚举也是能过的。高效的做法是:枚举a,根据以下公式求出b。
a*x1+b - MOD*y1 = x2;
a*x2+b - MOD*y2 = x3;
解得:
x3 - a*a*x1=(a+1)*b + MOD * y;
该方程为关于变量b的模线性方程 ,用扩展欧几里得算法解出一个解b0,(当gcd(a+1,MOD)==1) 则解出的为一个同余系;
b = b0 + MOD*k (k为任意整数);(该方程对应了 b = b0 + MOD‘ * k ,其中MOD‘ 为MOD/ gcd(a+1,MOD) ); 只需要检验一个b即可
但是当gcd(a+1,MOD)不等1时,直接用b0求解是有问题的因为解不在是MOD的同余系而是MOD‘的同余系;
所以正解应该是算出b0然后解出0 - 10000范围内的 可行b 然后检验; 算法复杂度为 O(nlogn*100);
#include<stdio.h> #include<string.h> const int mod=10001; typedef long long ll; ll x[222]; ll ex_gcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){ if(!b){ x=1,y=0; return a; } int ans=ex_gcd(b,a%b,y,x); y-=a/b*x; return ans; } int main(){ int n,i; while(~scanf("%d",&n)){ n*=2; for(i=1;i<n;i+=2){ scanf("%lld",&x[i]); } long long a,b,c,d,y; for(a=0;;a++){ c=x[3]-a*a*x[1]; d=ex_gcd(a+1,mod,b,y); if(c%d) continue; b=b*c/d; for(i=2;i<=n;i++){ if(i&1){ if(x[i]!=(a*x[i-1]+b)%mod) break; }else x[i]=(a*x[i-1]+b)%mod; } if(i>n) break; } for(i=2;i<=n;i+=2) printf("%lld\n",x[i]); } return 0; }
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时间: 2024-10-07 01:26:29