最短路径问题

最短路径：　　边上的权重就是距离。

最便宜：　　　权重是价格。

最快的路径：　通过结点最少

最短路径问题的抽象

在网络中，求两个不通顶点之间的所有路径中，边的权值之和最小的那一条路径

　　这条路径就是两点之间的最短路径

　　第一个顶点为源点

　　最后一个顶点为终点

问题分类

• 单源最短路径问题：从某固定源点出发，求其到所有其他顶点的最短路径。
  • （有向）无权图
  • （有向）有权图
• 多源最短路径问题：求任意两顶点间的最短路径。

单源最短路径在每个节点上用一遍就是多源最短路径。

单源无权图 最短路径问题

　　思路是：按照递增（非递减）的顺序找到到各个顶点的最短路。

单源有权图 最短路径问题

　　无权图可以看成是特殊的有全图，只不过每条权重都是1

Dijkstra算法

• 令S=｛源点s+已经确定了最短路径的顶点vi｝   顶点的集合
• 对任一未收录的顶点V，定义dist[v]为s到v的最短路径长度，但该路径仅经过S中的顶点，即路径｛s->(vi ε S)->v ｝的最小长度。
• 若路径是按照递增的顺序生成的，则
• 真正的最短路必须只经过S中的顶点（为什么？）
• 每次从未收录的顶点中选一个dist最小的收录（贪心）
• 增加一个V进入S，可能影响另外一个W的dist值。