SRM 514 DIV1 500pt(DP)

题目简述

给定一个H×W大小的矩阵，每个格子要么是1~9中的一个数，要么是".",要求你把“.”填成具体的数字(1~9),并且符合以下两个要求：

• 对于所有的整数r 和 c( 0 <= r <= H-n,0 <= c < W), 使得 F[r][c] + F[r+1][c] + ... + F[r+n-1][c] 是奇数.
• 对于所有的整数 r 和c(0 <= r < H,0 <= c <= W-m), 使得 F[r][c] + F[r][c+1] + ... + F[r][c+m-1] 是奇数

题解

我们可以发现F[r][c]和 F[r+n][c]的奇偶性是一样的，同样F[r][c]和F[c+m]也是同样的奇偶性，那么我们可以把F[r+p*n][c+q*m]的可以放的奇数和偶数的个数统计到odd[r][c]和even[r][c]中，矩阵就压缩成了n*m了！注意如果F[r+p*n][c+q*m]是个确定的数，如果是奇数，那么even[r][c]=0,反之odd[r][c]=0.

这样问题就转化成了求n×m的矩阵，每行和每列的和都是奇数的方案数！

接下来我们先预处理出每一行都是奇数和的状态的方案数cnt[i][mask]，然后再进行DP，方程是dp[i][mask1^maks2]+=dp[i-1][mask1]*cnt[i][maks2],第i-1行的列状态数是mask1,第i行选取的行状态是mask2,那么形成的列状态就是mask1^maks2,最后的答案就是dp[n][(1<<m)-1]，(1<<m)-1恰好表示每一列的状态都是奇数。这道题真是很赞，状态设计好巧妙～～，完全想不到啊！

代码：

 1 typedef long long LL;
 2 #define MOD 1000000007
 3 LL odd[15][15], even[15][15];
 4 LL dp[15][1 << 12], cnt[15][1 << 12];
 5 class MagicalGirlLevelTwoDivOne
 6 {
 7 public:
 8     int go(int num)
 9     {
10         int ret = 0;
11         while (num)
12         {
13             ret += num & 1;
14             num >>= 1;
15         }
16         return ret;
17     }
18     int theCount(vector <string> palette, int n, int m)
19     {
20         int x = palette.size(), y = palette[0].size();
21         for (int i = 0; i < n; i++)
22             for (int j = 0; j < m; j++) odd[i][j] = even[i][j] = 1;
23         for (int i = 0; i < x; i++)
24             for (int j = 0; j < y; j++)
25             {
26                 if (palette[i][j] == ‘.‘)
27                 {
28                     odd[i % n][j % m] *= 5;
29                     odd[i % n][j % m] %= MOD;
30                     even[i % n][j % m] *= 4;
31                     even[i % n][j % m] %= MOD;
32                 }
33                 else
34                 {
35                     int num = palette[i][j] - ‘0‘;
36                     if (num % 2 == 0) odd[i % n][j % m] = 0;
37                     else even[i % n][j % m] = 0;
38                 }
39             }
40         memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
41         for (int i = 0; i < n; i++)
42             for (int mask = 0; mask < (1 << m); mask++)
43             {
44                 int tot = go(mask);
45                 if (tot % 2 == 0) continue;
46                 cnt[i][mask] = 1;
47                 for (int j = 0; j < m; j++)
48                 {
49                     if (mask & (1 << j))
50                         cnt[i][mask] *= odd[i][j];
51                     else cnt[i][mask] *= even[i][j];
52                     cnt[i][mask] %= MOD;
53                 }
54             }
55         memset(dp, 0, sizeof(dp));
56         dp[0][0] = 1;
57         for (int i = 1; i <= n; i++)
58             for (int mask1 = 0; mask1 < (1 << m); mask1++)
59                 for (int mask2 = 0; mask2 < (1 << m); mask2++)
60                 {
61                     dp[i][mask1 ^ mask2] += (dp[i - 1][mask1] * cnt[i - 1][mask2])%MOD;
62                     dp[i][mask1 ^ mask2] %= MOD;
63                 }
64         return (int)dp[n][(1 << m) - 1];
65     }
66 };