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水平集方法
水平集方法是一种隐式描述移动界面的欧拉方法， 最早由 Osher 和 Sethian 在1988年引入。
水平集方程的推导
在区域Ω内，考虑随时间t演化的界面 Γ=Γ(x,t), 其中x表示Γ上的一点。 移动界面可以用一个函数?(x,t) 的零水平集表示, 即 Γ={x|?(x,t)=0}。给定Ω 上的速度向量场V(x,t), 则方程(1)描述了? 的水平集以速度V(x,t)在区域Ω中传播的过程，该方程就称为水平集方程。
?t+V???=0(1)
下面在二维情形下推导方程(1)。我们用零水平集?(x,y,t)=0来表示 移动界面，而且希望界面上的点在移动过程中，始终在这个?(x,y,t)的零水平集上，则有
ddt?(x(t),y(t),t)=0(2)
由链式法则，可得：
?t+?xxt+?yyt?t+(xt,yt)?(?x,?y)?t+V???===000(3)(4)(5)
其中V=(xt,yt)。方程(5)就是所谓的水平集方程，描述了水平集在外部速度场中的 移动过程。
因为水平集?(x,y,t)=c的单位法向为：
n(x,y,t)=??(x,y,t)|??(x,y,t)|.(6)
方程(5)中的V???项, 可以理解为只有速度场V(x,y,t) 在水平集的法向方向分量才会影响水平集的移动，因此可以引入下面的法向速度场：
Vn=V(x,y,t)???(x,y,t)|??(x,y,t)|.(7)
水平集方程的形式也可改写为：
?t+Vn|??(x,y,t)|=0(8)
参考文献
- Osher, Stanley, and James A Sethian. “Fronts Propagating with Curvature-Dependent Speed: Algorithms Based on Hamilton-Jacobi Formulations.” Journal of Computational Physics 79, no. 1: 12–49.