0001~约瑟夫问题

1. 一个杀人游戏

这个问题是以弗拉维奥·约瑟夫命名的，它是1世纪的一名犹太历史学家。他在自己的日记中写道，他和他的40个战友被罗马军队包围在洞中。他们讨论是自杀还是被俘，最终决定自杀，并以抽签的方式决定谁杀掉谁。约瑟夫斯和另外一个人是最后两个留下的人。约瑟夫斯说服了那个人，他们将向罗马军队投降，不再自杀。约瑟夫斯把他的存活归因于运气或天意，他不知道是哪一个。^[1]

2. 数学解法一

传统解法为循环链表模拟出队流程，详见[1]。这里讨论更高效的数学解法。

要求解的是最后剩下的人的编号。解决思路是如果将杀人后的环重新编号，可以让求解的问题仍与杀人前等价，但问题规模（人数n）却可以减小 1，这样只要找到杀人前后新旧编号的递推关系，就可以利用规模为 1 时最后剩下人的编号一定为 0 的特点，反推回更大问题规模时的编号。

囚犯个数为 n，每次杀掉第 m 个人，囚犯编号从 0 到 n - 1

从 0 开始编号是为了下面公式中求余情况简单，不然如从 1 开始编号，当对 n 求余为 0 时要特殊修正为 n，在求解出编号后可以通过加 1 恢复成常见的从 1 开始编号方式

如规模为 n 时某个人 X，对应编号记为 Xⁿ，规模变为 n - 1 时，从被杀的那个人后重新编号，X 的新编号为  X^n-1

可以通过下面的例子看出 X^n-1 与 Xⁿ 相差为被杀的那个人编号加 1，即 m % n， 但考虑 X^n-1 + m % n 后可能超过 n，因此最终关系为 Xⁿ = (X^n-1 + m % n) % n，根据同余性质^[2]，等价为 Xⁿ = (X^n-1 % n + m % n) % n，等价为 Xⁿ = (X^n-1 + m) % n

^{对于 n = 5, m = 8}

如最后剩下的那个人为 Y，规模为 n 时的编号为 Yⁿ，显然 Y¹ = 0，利用 Xⁿ = (X^n-1 + m) % n 即可递推求得 Yⁿ，代码详见[1]

也可推广为求解剩下多个人的问题，比如上面提到的历史上 41 人剩 2 人，设两人为A、B，则 A² = 0 和 B² = 1 带入递推公式求得 A⁴¹、B⁴¹ 的值

标红为死的人，每次死人后重新编号

最终问题转换为已知小规模时的新编号和新旧编号关系，求解大规模时的旧编号问题。

3. 数学解法二^[3]

前面的解法是从某个人的编号和编号变化考虑，这个解法则是从某个人报数时的时刻和时刻变化考虑，这里“时刻”指的是所有人报的数中的第几个，从 0 开始算（为了 b < m - 1，下面化简方便）

思路为 Y 报数的时刻为 n * m - 1，通过求得 Y 前后两次报数的时刻关系，即可反推回 Y 第一次报数的时刻，而这个时刻就是 Y 的编号

如 Y 在 p 时刻报了数，同时 p 时刻 Y 不会死，即 (p + 1) % m != 0，将前面已经死的人数设为 a，则有 p = a * m + b，0 <= b < m - 1。可以参考下表理解

标红为死人的时刻

Y 在 p 时刻后的下一次报数时刻设为 q，q 为 p 在剩下的 n -a 个人报数后，即 q = p + n - a，将等式变为 p 用 q、n、m 表示则得到 p = q - n + (q - n - b) / (m - 1)，由 b < m - 1，得到 p = q - n + floor((q - n) / (m - 1))，这样就可从后面的报数时刻求得前面的报数时刻

上面两种解法都可以推广为第 j 个被杀的人编号，和第 j 个人被杀后第 k 个报数的人的编号

相关资料

[1] 维基百科

https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BA%A6%E7%91%9F%E5%A4%AB%E6%96%AF%E9%97%AE%E9%A2%98

[2] 同余性质

https://blog.csdn.net/xiaofengsheng/article/details/4812535

[3] 约瑟夫问题解法

http://maskray.me/blog/2013-08-27-josephus-problem-two-log-n-solutions

原文地址：https://www.cnblogs.com/dujianfeng/p/9256585.html