Luogu P2051[AHOI2009]中国象棋【dp】By cellur925

题目传送门

题目大意:给定一个$n*m$的棋盘,求放三个“炮”使它们不共行也不共列的方案数。($n,m$$<=100$)



这题主要是转移比较困难,因为情况比较多,所以需要冷静大胆细心地进行分情况讨论。

首先我们还是设计出状态:设$f[i][j][k]$表示前$i$行,放1枚棋子的有$j$列,放2枚棋子的有$k$列的方案数。

我们这样思考:放几个?放在哪?

  • 在第$i$行不放棋子。显然我们可以由$f[i-1][j][k]$转移过来。
(f[i][j][k]+=f[i-1][j][k])%=moder;
  • 在第$i$行放1个棋子。有两个位置可以选择(放1个棋子的列,没放过棋子的列)

    • 放在之前有一个棋子的列,那么有一个棋子的列数变少,有两个棋子的列数变多。那么我们回到之前的状态,可以从$f[i-1][j+1][k-1]$转移来,而根据容斥的思想,我们有$(j+1)$个列可供选择。
if(k-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%=moder;
    • 放在之前没有棋子的列,那么有一个棋子的列数变多,之前可转移来的状态是$f[i-1][j-1][k]$。同理,我们有$(m-(j-1)-k)$个位置可以选择。
if(j-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-k-j+1))%=moder;
  • 在第$i$行放2个棋子。

    • 两个都放在不相同的没有棋子的列,那么有一个棋子的列数变多。之前可转移来的状态是$f[i-1][j-2][k]$。在空的列数中选2个,用到了组合数。
if(j-2>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2))%=moder;
    • 两个都放在不相同的已有一个棋子的列,那么有一个棋子的列数变少,有两个棋子的列数变多。之前可转移来的状态是$f[i-1][j+2][k-2]$。同样要用到组合数。
if(k-2>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%=moder;
    • 两个棋子,一个放在已有一个棋子的列,一个放在没有棋子的列,那么有一个棋子的列数减一再加一相当于没变,有两个棋子的列数增多。并运用乘法原理。
if(k-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1))%=moder;

列出了转移方程,我们的代码也就写完了(雾)。

Code

 1 #include<cstdio>
 2 #include<algorithm>
 3
 4 using namespace std;
 5 typedef long long ll;
 6 const ll moder=9999973;
 7
 8 int n,m;
 9 ll ans,f[105][105][105];
10
11 ll C(int x)
12 {
13     return (x*(x-1))>>1;
14 }
15
16 int main()
17 {
18     scanf("%d%d",&n,&m);
19     f[0][0][0]=1;
20     for(int i=1;i<=n;i++)
21         for(int j=0;j<=m;j++)
22             for(int k=0;k<=m-j;k++)
23             {
24                 (f[i][j][k]+=f[i-1][j][k])%=moder;
25                 if(k-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j+1][k-1]*(j+1))%=moder;
26                 if(j-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j-1][k]*(m-k-j+1))%=moder;
27                 if(k-1>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j][k-1]*j*(m-j-k+1))%=moder;
28                 if(k-2>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j+2][k-2]*C(j+2))%=moder;
29                 if(j-2>=0) (f[i][j][k]+=f[i-1][j-2][k]*C(m-k-j+2))%=moder;
30             }
31     for(int j=0;j<=m;j++)
32         for(int k=0;k<=m-j;k++)
33             (ans+=f[n][j][k])%=moder;
34     printf("%lld",ans);
35     return 0;
36 }



转移的时候我竟然想,为什么没有“两个棋子放在同一个之前没放到的列”这种情况。后来才意识到,我们每次面对的,是一行,其实是一个向量,(一维数组)。每一列只能放一颗棋子...

分类讨论大法好!

原文地址:https://www.cnblogs.com/nopartyfoucaodong/p/9745747.html

时间: 2024-11-18 22:25:30

Luogu P2051[AHOI2009]中国象棋【dp】By cellur925的相关文章

Luogu P2051 [AHOI2009]中国象棋(dp)

P2051 [AHOI2009]中国象棋 题面 题目描述 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个 \(N\) 行 \(M\) 列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是 \(0\) 个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧! 输入输出格式 输入格式: 一行包含两个整数 \(N\) , \(M\) ,之间由一个空格隔开.

luogu P2051 [AHOI2009]中国象棋

分析: 因为这是道dp题n<=100,第一想到O(n^3)的算法,发现每行每列最多两个炮,f(i,j,k)表示放完第i行,有j列一个炮,与k列两个炮的方案.即可递推. 详细看代码. #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const ll MOD=9999973; const int maxn=110; ll f[maxn][maxn][maxn]; /

P2051 [AHOI2009]中国象棋

题目描述 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个N行M列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是0个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧! 输入输出格式 输入格式: 一行包含两个整数N,M,之间由一个空格隔开. 输出格式: 总共的方案数,由于该值可能很大,只需给出方案数模9999973的结果. 输入输出样例 输入样例#

p2051 [AHOI2009]中国象棋. (bzoj 1801)

题目描述 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个N行M列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是0个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧! 40pts 考试遇到了这个题,玄学打表得了\(40pts\) 玄学打表吼啊 xjb分析 正解竟然是个\(DP\)? 还有人说是状压\(DP\)?哪里来的状压啊! 前置知识 考虑到我

P2051 [AHOI2009]中国象棋[线性DP]

最近智商有点不在线.其实一直不在线. 题目 先是想用$f[i][j][k][0/1/2]$表示摆了i行时有j列空着,k列有了一个炮,且当下摆了0/1/2个的状态,转移方程写的出来但是极其繁琐.于是又设法听取评讲者题解修改状态,最后的012完全可以删去.那么仍可以表示这一行那些列摆过1个,那些列摆过0个的种类.转移时分类即可. $f[i][j][k]+=f[i-1][j][k]$ 什么都不摆 $f[i][j][k]+=(j+1)*f[i-1][j+1][k-1]$  摆1个炮 $f[i][j][k

BZOJ 1801: [Ahoi2009]chess 中国象棋( dp )

dp(i, j, k)表示考虑了前i行, 放了0个炮的有j列, 放了1个炮的有k列. 时间复杂度O(NM^2) -------------------------------------------------------------------------- #include<cstdio> #include<cstring> #include<algorithm> using namespace std; typedef long long ll; const in

BZOJ1801:[AHOI2009]中国象棋——题解

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1801 https://www.luogu.org/problemnew/show/P2051 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个N行M列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是0个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧

[AHOI2009]中国象棋

题目描述 这次小可可想解决的难题和中国象棋有关,在一个N行M列的棋盘上,让你放若干个炮(可以是0个),使得没有一个炮可以攻击到另一个炮,请问有多少种放置方法.大家肯定很清楚,在中国象棋中炮的行走方式是:一个炮攻击到另一个炮,当且仅当它们在同一行或同一列中,且它们之间恰好 有一个棋子.你也来和小可可一起锻炼一下思维吧! 输入输出格式 输入格式: 一行包含两个整数N,M,之间由一个空格隔开. 输出格式: 总共的方案数,由于该值可能很大,只需给出方案数模9999973的结果. 输入输出样例 输入样例#

bzoj1801: [Ahoi2009]chess 中国象棋 [dp]

Description 在N行M列的棋盘上,放若干个炮可以是0个,使得没有任何一个炮可以攻击另一个炮. 请问有多少种放置方法,中国像棋中炮的行走方式大家应该很清楚吧. Input 一行包含两个整数N,M,中间用空格分开. Output 输出所有的方案数,由于值比较大,输出其mod 9999973 Sample Input 1 3 Sample Output 7 HINT 除了在3个格子中都放满炮的的情况外,其它的都可以. 100%的数据中N,M不超过10050%的数据中,N,M至少有一个数不超过