世界杯座位选择顺序总数

1. 问题

假设世界杯观看台上有n个座位，游客们来到这里自由占位。一般情况下，一个游客首先考虑的座位肯定是两边都没人的座位，其次考虑的是一边没人的座位，最后没得考虑，只能随便选一张两边都是人的座位。 假设有n个游客依次到场占位，每个人都是按照上述规则选择自己的位子，求这n个游客占位的可能顺序有多少种？

输入描述： 有多组测试数据，每组测试数据包括一个正整数n(0<n<1000000)。

输出描述：对于每组数据，由于答案可能会很大，所以输出：答案%1000000007

2. 分析

需要注意的是：观众来的顺序是固定的，场地是环形的。

分析：第一批（前几位）观众肯定选择两边没有人的位置，第二批（接下来）的观众肯定选择一边没有人的，第三批（最后）只能选择两边都有人的座位。因此我们可以按批次安排这n个人，即先安排第一批，再安排第二批，最后安排第三批。

定义：当座位为{有人、无人、无人、有人}时，称这四个座位为TB模块。每个TB模块间隔2个空座位。n为座位数，tb为TB模块个数，interval为间隔个数。

第一批：第一批观众入座之后需保证剩下的所有空座位至少一边有人。

第二批：安排只有一边没有人的座位。易得这样座位的个数与TB模块个数m的两倍相同，则共有2^m*m!种顺序。

第三批：安排两边均有人的c个座位。显然共有c!种顺序。

我们按照TB模块的个数分情况讨论，则对于每种情况共有：p_i=(n*C_interval^tb*(interval-1)!)*(2^tb*tb!)*((n-interval-tb)!)种情况顺序。其中(n*C_interval^tb*(interval-1)!)为第一批，(2^tb*tb!)为第二批，((n-interval-tb)!)为第三批。对于第一批来说共有interval个间隔，其中tb个TB模块，因此共有C_interval^tb种座位间隔安排方式，第一个人已经选定位置，因此其他(interval-1)个人共有(interval-1)！种顺序，因此第一批共有n*C_interval^tb*(interval-1)!种顺序。对于第二批共有tb个TB模块，则共有2^tb种安排顺序，tb个人共有tb!个顺序，因此共有2^tb*tb!种顺序。剩余的第三批共有n-interval-tb个座位，因此共有(n-interval-tb)!种顺序。

所有情况顺序数之和即为最终结果。易得当n为奇数时，tb最小值为1；反之，tb最小值为0。

例1：假设有8个座位，

(1) 情况一：不存在TB模块。第一个人共有8种选择，当第一个人选定后，其它3个座位也固定下来（如：第一个人选择位置1，则另外三个座位肯定是3, 5, 7），而接下来的这三个人可以有3！种顺序。因此，可得第一批人第一种情况共8*C₄⁰*3！种顺序。不存在TB模块即不存在第二批安排。最后需要安排的第三批座位数为4，共有4！种顺序。由上可得情况一共有p₁=8*3!*4!种顺序。

(2) 情况二：存在2个TB模块。简单分析可得不存在一个TB模块的情况。此时间隔数为(8-3*2)/2+2=3个，即一个间隔为1，2个间隔为2。当第一个人固定后，间隔共有C₃²种分配方案，则该种情况共有8*C₃²*2!种情况。易得安排第二批人共有2²*2！种顺序，第三批人共有3！种顺序。则情况二共有p₂=(8*C₃²*2!)*(2²*2!)*(3!)种顺序。

(3) 情况三：存在4个TB模块。显然对于8不可能，因此第一批人分情况处理完成。

综上，当座位数为8时共有p₁+p₂种顺序。

注意：上述中每种情况均增加两个TB模块，直到达到TB模块的上界，则运行终止。

例2：假设有9个座位，

情况一：存在1个TB模块。间隔个数为(9-3*1)/2+1=4个，即3个间隔座位数为1，1个间隔座位数2。当第一个人选定后间隔共有C₄¹种分配方案，则该种共有9*C₄¹*3!种顺序。显然安排第二批人共有2¹*1！种情况，第三批人共有4！种顺序。则情况一共有p₃=(9*C₄¹*3!)*(2¹*1！)*(4!)种顺序。

情况二：存在3个TB模块。间隔个数为(9-3*3)/2+3=3个，即0个间隔座位为1，3个间隔座位数为2。当第一个人选定后间隔共有C₃³种分配方案，则第一批共有9*C₃³*2!中顺序。易得，第二批人共有2³*3！种顺序，第三批人共有3！种顺序。则情况二共有p₄=(9*C₃³*2!)*(2³*3！)*(3!)种顺序。

情况三：显然不存在5个TB模块。运行终止。

综上，当座位数为9时共有p=p₃+p₄种顺序。

由例1与例2可得，当座位数为奇数与偶数时，情况不同。相同的是每种情况递增2个TB模块。

3. 实现

n为座位数，tb为TB模块个数，interval为间隔个数，num为所有观众的顺序，则对于每一种情况均有p_i=(n*C_interval^tb*(interval-1)!)*(2^tb*tb!)*((n-interval-tb)!)。

伪代码：

input: n

output: num

num = 0;

if n is odd

tb = 1;

else

tb = 0;

interval = (n-3*tb)/2 + tb;

while n ≥ 3*tb

p=(n*C_interval^tb*(interval-1)!)*(2^tb*tb!)*((n-interval-tb)!);

num += p;

tb += 2;

interval--;

return num;

4. 遗留问题

当只需保留余数时，阶乘的余数可以在每次相乘之前取余，即(a*b)%c =((a%c)*(b%c))%c。但C_mⁿ%c如何求解？坐等高人指点迷津……

世界杯座位选择顺序总数,布布扣,bubuko.com