《University Calculus》-chape6-定积分的应用-平面曲线长度

这一章节我们开始对多重积分的研究. 在此之前,我们首先来回忆起积分的过程,在平面中,面临求解不规则图形的面积(常叫曲边梯形)的时候,我们可以采取建立直角坐标系,然后通过得到不规则图形边界的函数表达式f(x),对f(x)求解一次定积分即可.其方法就是先微分(将自变量区间划分为n个区间段),引入极限的概念(即使得n趋向无穷)之后使得我们能够“化曲为直”,然后利用矩形的面积公式进行求解.随后是积分过程,将这n个小矩形相加求极限,可得曲边梯形的面积. 如下几图使得这个过程更加的直观. Sp又叫做,f(x

点积.向量夹角: 无论对于空间向量还是平面向量,我们所熟知的是:给出任意两个向量,我们都能够根据公式计算它们的夹角,但是这个夹角必须是将两个向量的起点重合后所夹成的小于等于π的角,可是,这是为什么呢? 它其实来源于如下的定理(这里的定理和证明过程以三维向量为例,对于二维向量,可做完全一致的推导): 证明: 考虑在如下的一个三角形中. 通过这个定理的证明过程就能够理解:为什么我们求向量夹角用点积:两个向量之间的点积为什么等于两个向量模长再乘以夹角的余弦值:为什么我们求出来的角是起点重合的两个向量夹

偏导数本质上就是一元微分学向多元函数的推广. 关于定义域的开域.闭域的推广: 其实这个定义本质上讲的就是xoy面上阴影区域的最外面的一周,只不过这里用了更加规范的数学语言. 二次函数的图形.层曲线(等值曲线): 一元函数的定义域在x轴上,函数图像在xoy面上:二元函数的定义域在xoy面上,函数图像在空间当中,而三元函数的定义域对应着空间的集合体.这里面对二元.三元函数我们有一个最基本的问题,就是勾勒出它们的大致图像,虽然目前有数学软件可以较为快速准确的描绘出函数的图像,但是掌握一定的确定函数图像

定积分中值定理: 积分自身的定义是简单的,但是在教学过程中人们往往记得的只是它的计算方法,在引入积分的概念的时候,往往就将其与计算方法紧密的捆绑在一起,实际上,在积分简单的定义之下,微积分基本定理告诉了我们积分的计算方法. 微积分基本定理: 能够看到,正是基于这样一个基本定理,我们才能够找到积分的计算方法,从这个角度就可以充分的理解为什么求积分的过程实际上是一个求“反导数”(求导的逆运算)的过程了.

叉积概念的引入: 在平面中我们为了度量一条直线的倾斜状态,为引入倾斜角这个概念.而通过在直角坐标系中建立tan α = k,我们实现了将几何关系和代数关系的衔接,这其实也是用计算机解决几何问题的一个核心,计算机做的是数值运算,因此你需要做的就是把几何关系用代数关系表达出来.而在空间中,为了表示一个平面相对空间直角坐标系的倾斜程度,我们利用一个垂直该平面的法向量来度量(因为这转化成了描述直线倾斜程度的问题). 叉积的定义: 注意这里的θ是根据右手法则和叉乘的顺序确定的,是具有一定的方向性,这种定义

定积分一个广泛的应用就是在求解一些“看似不规则”的几何体的体积,之所以说看似不规则,是因为不规则之下还是有一定的“规则性”可言的,我们就是需要抓住这些线索进行积分运算得到体积. 方法1:切片法. 这里由于处理的方法思想和典型的离散的黎曼和到连续的积分的过程类似,因此这里不再重复推导,直接给出如何应用以及实例. 基于这条定理,我们能够直接介绍一下卡瓦列里原理.卡瓦列里原理表明,高度相同并且在每个高度上的横截面积相同的几何体的体积相同,直观的理解,就像下面这两堆“叠硬币”图. 下面我们看一些实例.

极坐标系下的面积: 在直角坐标系下一样,这里在极坐标系下,我们面临一个同样的问题:如何求解一个曲线围成的面积?虽然两种情况本质上是一样的,但是还是存在一些细小的区别. 在直角坐标系下中,我们是讨论一条曲线和x轴围成的封闭的曲边梯形的面积.而极坐标系下,我们讨论一条曲线的两个端点与极坐标原点的线段加上该曲线连成的图形的面积. 如下图所示. 笛卡尔系下我们求曲边梯形的面积是用小矩形的面积逼近 而在极坐标系下我们用小扇形的面积进行逼近 极坐标系下曲线的长度: 这里结合之前我们在平面笛卡尔系得到结论:

基于基本的极限分析方法(诸多的无穷小以及洛必达法则),我们能够得到推导出一些表面上看不是那么显然的式子,这些极限恒等式往往会在其他的推导过程中用到,其中一个例子就是概率论中的极限定理那部分知识.

在分析等比级数的过程中,我们发现对于q<1的等比级数是收敛的,它表示级数每一项与它前一项的比值小于1,我们能否将这种方法推广起来用于一般级数的审敛呢? 从极限的定义出发: