图像修复项目《问题一》

首先，我们项目研究的时关于图像修复的快速算法，当然是基于前人基础的提出改进的算法。现在研究的一篇论文是Mingqiang Zhu的一篇论文《An Efficient Primal-Dual Hybrid Gradient Algorithm For Total Variation Image Restoration 》，因此本系列的项目都是围绕这篇论文展开的。

这篇论文主要研究的是原始对偶混合梯度算法的全变差图像复原问题。

我们知道全变分模型已经在国内有了一个好的图像修复效果，最基础的问题就是去噪。

直接看以下最小化问题：

那么，假设图像域为方形的，现在在这里面定义一个n*n的像素格，每个元素的索引使用（i, j），其中i=1,2,...,n，j=1,2,...,n。以这个n*n的矩阵来代表一个图像。u(i,j)表示函数u在像素（i,j）上的值。全变分定义为图像梯度幅值之和：

其中:

且符号||.||是一个欧式范式，在二维图像中指代的就是二范式。

为了在矩阵代数中描述问题我们需要对图像矩阵u（对应加噪图像f）拉直为y向量（对应z向量），具体的方法是将二维中的矩阵元素（i,j）转换到向量中的第（j-1）*n+i个元素。也就是说第i列，第j行中的元素转换为向量中第（j-1）*n+i个元素。

举个例子比较好理解：

这里面的mod指的是整除的意思。

同样上面的例子，在这里应用就是考虑对应以下四种情况：

（1）l=1时，1%3!=0且1〈=9-3：

（2）l=3时，3%3==0且3〈=9-3：

（3）l=7时，7%3！=0且7〉9-3：

（4）l=9时，9%3==0且9〉9-3：