MT【68】一边柯西一边舍弃

求$\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}$的最值.

通常考试时会考你求最大值,常见的方式有三角代换，这里给如下做法:

证明:$\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}=\sqrt{x-5}+\sqrt{3}\sqrt{8-x}\le\sqrt{(1+3)(x-5+8-x}=\sqrt{12}$

         这边用了柯西不等式.

       $\sqrt{x-5}+\sqrt{24-3x}=\sqrt{x-5}+\sqrt{3}\sqrt{8-x}\ge\sqrt{x-5}+\sqrt{8-x}=\sqrt{(\sqrt{x-5}+\sqrt{8-x})^2}$

                                       $=\sqrt{3+2\sqrt{x-5}\sqrt{8-x}}\ge\sqrt{3}$

        当$x=8$时候等号成立.