原文引用https://www.dazhuanlan.com/2019/08/25/5d625b5c4d1ea/
本文通过 53. Maximum Subarray & 152. Maximum Product Subarray 分析根据动态规划思路进行问题求解中的一个关键环节：子问题的拆分和求解。
Problem Description
- 两道题解决的问题相似，都是求解给定序列中满足某种数学特征（和最大/乘积最大）的子序列，虽然不需要将该子序列输出。
- 留意的关键字眼是：
containing at least one number，所以给定序列至少有一个元素，这也启发我们可以将其作为特殊处理。
53. Maximum Subarray 解题思路
- 思路一：$sums[j]$ 为序列前 j 个元素的最大子段和作为求解的子问题，则 $sum[n]$ 则为问题的答案。然而，如何利用 $sums[1, 2, …, j-1]$ 对 $sums[j]$ 进行求解呢？显然需要知道前 j 个元素的最大字段和的子段起始和终止位置，求解这个子问题的状态迁移显然比较复杂。
- 换一种思路。思路二：$sums[j]$ 为以第 j 个元素为结尾的子段的最大子段和作为求解的子问题，$max_{1 leq j leq n}(sums[j])$ 即为整个序列的最大子段和。而通过 $sums[j-1]$ 和当前元素 $nums[j]$ 即可计算以第 j 个元素为结尾的最大子段和 $sums[j]$，
状态转移方程如下：
$$ sums[j+1] = begin{cases} nums[j+1] sums[j] lt 0 cr sums[j] + nums[j+1] others end{cases}$$ - 根据思路二，53. Maximum Subarray 解答如下：
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class {public: int maxSubArray(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size(); if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } int sums[SizeofNums]; sums[0] = nums[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) {
sums[i] = sums[i-1]<0 ? nums[i] : sums[i-1]+nums[i]; }
int largestSum = sums[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { if(largestSum < sums[i]) { largestSum = sums[i]; } }
return largestSum; }};
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- 为了得到
largestSum对应的子序列，我们可以通过变量startIdx记录以第 j 个元素结尾（endIdx）的最大子段和对应子序列的起始位置，$nums[startIdx, …, endIdx]$ 即为对应的子序列；另外，考虑到当前状态只与前一个状态有关，所以可以使用变量代替数组，节省内存，同时，避免获取The largest sum of the whole array时的重复循环。
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class Solution {public: int maxSubArray(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size(); if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // largest sum for the subarray ending with current element int curSum = nums[0]; // largest sum of subarray for the whole array int largestSum = curSum; // subarray[startIdx, endIdx] with largest sum for the whole array int startIdx = 0, endIdx = 0; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { if(curSum < 0) { curSum = nums[i]; startIdx = i; } else { curSum = curSum + nums[i]; }
if(curSum > largestSum) { largestSum = curSum; endIdx = i; } }
return largestSum; }};
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152. Maximum Product Subarray 解题思路
- 这一题的解题流程与上一题基本类似，但是要解决的关键问题是：状态转移，即如何根据上一个子问题（以第 j 个元素为结尾的子段的max product）的答案推算出当前子问题的结果。
- 从上一题的分析可以看出，当前子问题（以第 j 个元素为结尾的子段的max sum）的计算只需考虑上一个子问题的结果 $sum[j-1]$，$sum[j-1] < 0$，因为是加法，显然可以将子问题结果忽略；$sum[j-1] > 0$，$sum[j-1]$ 加上当前元素就是当前子问题的结果。
- 类似的问题，只不过换成乘积，子问题的求解就变得复杂了，需要考虑以下几种情况：
- 当前元素是正数，max product可能是正正得正的情况，因为都是整数，乘积＞1，上一子问题的结果乘上当前元素即为当前子问题的答案
- 当前元素是负数，max product可能是负负得正的情况，因此需要维护以第 j 个元素为结尾的子段的min product（很大可能是负数）
- 另外，需要考虑上一个子问题的结果为0的情况
- 总之，乘积的最大值为上述三种情况之一
状态转移方程如下：
$$ maxProducts[j+1] = max(maxProducts[j-1]*nums[j], minProducts[j-1]*nums[j], nums[j])$$
- 152. Maximum Product Subarray 解答如下：
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class Solution {public: int maxProduct(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size();
if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // The largest/least product of subarray ending with the i-th element int maxProducts[SizeofNums]; int minProducts[SizeofNums]; maxProducts[0] = minProducts[0] = nums[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { // positive with positive, negative with negative, ignore previous zero maxProducts[i] = max( max(maxProducts[i-1]*nums[i], minProducts[i-1]*nums[i]), nums[i]); // positive with negative, negative with positive, ignore previous zero minProducts[i] = min( min(maxProducts[i-1]*nums[i], minProducts[i-1]*nums[i]), nums[i]); }
// getting the largest product for the whole array int largestProduct = maxProducts[0]; for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { if(maxProducts[i] > largestProduct) { largestProduct = maxProducts[i]; } }
return largestProduct; }};
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- 与上一题类似，添加额外变量，也能实现节省内存，记录子段最大乘积对应子段（$nums[startIdx, endIdx]$）的起始和终止位置。
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class Solution {public: int maxProduct(vector<int>& nums) { int SizeofNums = nums.size();
if(SizeofNums == 1) { return nums[0]; } // The largest/least product of subarray ending with the i-th element int largestProduct = nums[0]; int leastProduct = nums[0]; // The largest product for the whole array int maxProduct = largestProduct; // subarray[startIdx, endIdx] with largest product for the whole array int startIdx = 0, endIdx = 0; // start index for largestProduct/leastProduct int startIdx_pos = startIdx, startIdx_neg = startIdx;
for(int i=1; i<SizeofNums; i++) { int largestProduct_pre = largestProduct; int leastProduct_pre = leastProduct;
// positive with positive, negative with negative, ignore previous zero largestProduct = max( max(largestProduct_pre*nums[i], leastProduct_pre*nums[i]), nums[i]); if((largestProduct_pre != nums[i]) && (largestProduct == nums[i])) { startIdx_pos = i; }
// positive with negative, negative with positive, ignore previous zero leastProduct = min( min(largestProduct_pre*nums[i], leastProduct_pre*nums[i]), nums[i]); if((leastProduct_pre != nums[i]) && (leastProduct == nums[i])) { startIdx_neg = i; }
if(largestProduct > maxProduct) { maxProduct = largestProduct; if(largestProduct_pre*nums[i] > leastProduct_pre*nums[i]) { startIdx = startIdx_pos; } else { startIdx = startIdx_neg; } endIdx = i; } }
return maxProduct; }};
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原文地址：https://www.cnblogs.com/petewell/p/11408859.html
时间： 2024-10-13 23:21:23