[Usaco2010 OPen]Triangle Counting 数三角形

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Description

在一只大灰狼偷偷潜入Farmer Don的牛群被群牛发现后，贝西现在不得不履行着她站岗的职责。从她的守卫塔向下瞭望简直就是一件烦透了的事情。她决定做一些开发智力的小练习，防止她睡着了。想象牧场是一个X，Y平面的网格。她将N只奶牛标记为1…N (1 <= N <= 100,000)，每只奶牛的坐标为X_i,Y_i (-100,000 <= X_i <= 100,000;-100,000 <= Y_i <= 100,000; 1 <= i <=N)。然后她脑海里想象着所有可能由奶牛构成的三角形。如果一个三角形完全包含了原点(0,0)，那么她称这个三角形为“黄金三角形”。原点不会落在任何一对奶牛的连线上。另外，不会有奶牛在原点。给出奶牛的坐标，计算出有多少个“黄金三角形”。顺便解释一下样例，考虑五只牛，坐标分别为(-5,0), (0,2), (11,2), (-11,-6), (11,-5)。下图是由贝西视角所绘出的图示。

Input

第一行:一个整数: N 第2到第N+1行: 每行两个整数X_i，Y_i，表示每只牛的坐标

Output

* 第一行: 一行包括一个整数，表示“黄金三角形的数量”

Sample Input

5
-5 0
0 2
11 2
-11 -6
11 -5

Sample Output

5

HINT

Source

Gold

题解：

极角排序后对于某个点x，其与原点连线所在直线将平面划分为两部分，若一个部分有t个点，在这t个中任取2个与x显然不构成黄金三角形，答案就是所有三角形去掉非黄金三角形，发现对于每个点只统计某个方向的半平面内的点就能不重不漏

具体实现过程可以用俩指针或者二分

AC代码：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define ll long long
using namespace std;
inline const int read(){
    register int x=0,f=1;
    register char ch=getchar();
    while(ch<‘0‘||ch>‘9‘){if(ch==‘-‘)f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>=‘0‘&&ch<=‘9‘){x=(x<<3)+(x<<1)+ch-‘0‘;ch=getchar();}
    return x*f;
}
const int N=1e5+10;
struct node{
    ll x,y;
    double angle;
    ll operator * (node a){
        return x*a.y-y*a.x;
    }
    bool operator < (const node &a)const{
        return angle<a.angle;
    }
}a[N];
int n;
ll ans;
void work(){
    int r=1,t=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        while((r%n+1)!=i&&a[i]*a[r%n+1]>=0) t++,r++;
        ans+=(ll)t*(t-1)/2;
        t--;
    }
}
int main(){
    n=read();
    for(int i=1;i<=n;i++){
        a[i].x=read();a[i].y=read();
        a[i].angle=atan2(a[i].y,a[i].x);
    }
    sort(a+1,a+n+1);
    work();
    printf("%lld",(ll)n*(n-1)*(n-2)/6-(ll)ans);
    return 0;
}