在开始了解这些变换之前，简单复习一下级数的概念：
级数的概念之所以重要，是因为我们现实生活中经常遇到一些不规则的函数，为了方便我们的研究，我们希望能有一种方法来用简单的多项式或者多个函数来近似表示这个函数，这就是我们研究级数的原因：任意一个函数都能用多项式逼近； 假定我们有一个函数f(x),他的曲线是不规则的，我们很难去探索这种曲线的性质，但是如果我们把这种曲线展开成f(x)=f(x0)+f′(x0)(x?x0)+.........,展开式中的函数式我们熟悉的，这样会更便于我们的分析。如果这个例子还不够透彻，那么我们先把这个结论记住，学完泰勒级数和傅里叶级数之后我们也许会有更好的理解。
级数定义：又数列构成的表达式：u1+u2+u3+......+un+.....称为级数，记作∑∞n=1,即：
∑n=1∞=u1+u2+u3+......+un+.....
需要注意的是，我们取级数的前n项的和Sn=u1+u2+u3+......+un,当n→∞时S极限存在，我们说这个级数收敛。这里要与数列的收敛区分开，当n→∞时xn→a,此时我们说数列x1,x2,,,,xn是收敛的，但是此时对应的级数确不一定收敛。举例如调和级数：∑∞n=11n.但是级数收敛一定决定了对应的数列的收敛的。判断级数是否收敛有多重方法，例如比值法根值法等等，再此不作过多描述。
泰勒级数：泰勒公式的一般式为：
f(x)=f(x0)+f′(x0)(x?x0)+f′′(x0)2!(x?x0)2+.....+fn(x0)n!(x?x0)n+Rn(x)
其中最后一项称为余项，指示误差。对泰勒展开不太清楚的同学可以参考下这篇文章：（http://wenku.baidu.com/view/9ecac6bcf121dd36a32d82f4.html），目前我对此公式是先接受，有机会我将研究一下这个的来历，顺便看看能不能对高阶无穷小有更好的理解。
到这里， 如果我们取泰勒公式的前几项，即：f(x)≈f(x0)+f′(x0)(x?x0),你会看到啥？对的，这就是在某点x0附近，用直线来近似表示函数嘛！对的，这样分析就比直接分析不规则函数f(x)简单很多，当然，取得级数的项越多，就会越接近函数值，对于我们来说，即使我们取N 阶泰勒级数，也比直接分析f(x)容易很多吧。如果还不够透彻，我们继续看傅里叶级数。
傅里叶级数：
插播一条正交函数的概念：
二维空间中，我们有正交向量a? ,b? 互相垂直，从另外一个角度上说，也就是向量a? 在向量b? 方向上没有分量。然而你说这个干啥？我是想说，这样二维空间里的向量其实都可以分解到这两个互相垂直的向量上，也就是说，a? 和b? 是二维空间里的一组基！二维空间的向量都可以由他们来表示！用类比的思想，如果我们在二维空间里有两个函数正交，那么二维空间里的函数是否可以由这两个函数来表示呢？其实是这个样子！ 如果在区间[t1,t2]内用函数x1(t)近似表示x2(t)，x1(t)≈c12x2(t),当均方误差最小时，我们说这种近似程度最好，均方误差的定义为：?=1t2?t1∫t2t1[x1(t)?x2(t)]2dt,对其求导可以求得取得最小值时的状态： c12=∫t2t1x1(t)x2(t)dt∫t2t1x22(t)dt。当c12等于零时我们说这两个函数正交，类比于向量中的正交，我们说这两个函数是互相垂直的。
了解了正交函数的概念之后，我们可以对这个概念往高维扩展。如果我们知道了N维空间的一组正交函数基，那我们就可以把一个函数分解到N维空间里去。三角函数集（欧拉变换后得负指数函数）就是常用的一组基！他们通常表示为：1,cos(Ω1t),sin(Ω1t),cos(2Ω1t),sin(2Ω1t),.....,cos(nΩ1t),sin(nΩ1t),每个正余弦函数对组成了一组基，如果觉得两个函数来表示一个空间的基比较费解，我们可以根据eiθ=cosθ+isinθ,复指数函数eiθ对应了函数在N维空间下的某个基，类比向量空间中的正交基i,j,k。故函数的分解也就类似于向量在正交基下的分解。数学是统一合理和美的，对吧！
这就是傅里叶级数的来历，我们可以把函数表示成：
x(t)=a0+a1cos(Ω1t)+b1sin(Ω1t+a2cos(2Ω1t),+b2sin(2Ω1t)+...+ancos(nΩ1t),+bnsin(nΩ1t)
同理，类比向量，a1,b1....就是函数在对应的基cos(Ω1t),sin(Ω1t)......下的投影！那么投影是多大呢？回想上面我们介绍的正交函数概念的时候，我们想用函数x2(t)近似表示x1(t),求出的c12就是函数x1(t)在x2(t)方向上的投影的长度！那么求a1,b1....其实就是求对应基下的c12的值！再加上我们采用的基的模为1，也就是c12的分母为1。这样求得的anbn就是我们求傅里叶变换时经常看到的样子了。
参考
【1】信号分析与处理 杨西侠 王划一 机械工业出版社