uvalive 4413(梅涅劳斯定理)

题意：如图所示，给出P、Q、R三点的坐标，AB、BC、AC被点F、D、E划分成m1:m2、m3:m4、m5:m6，给出m1~m6的数值，求△ABC的三个顶点A、B、C的坐标。

题解：根据梅涅劳斯定理，如果有两个三角形是这样组成的：

结论：(BD/DC)×(CE/EA)×(AF/FB)=1

证明省略，直接运用结论，在题中所给的三角形中有6组这样的三角形，分别可以推出后面两个边的比值：

△CBQ 和 △CDR —-> DP / CQ

△BAP 和 △BFQ —-> FR / BP

△ACR 和 △APE —-> QE / AR

△CBE 和 △CDA —-> DP / PA

△BAD 和 △BFC —-> FR / CR

△ACF 和 △AEB —-> EQ / BQ

设DP为x，就能把全部边都表示成关于x的式子，最后推回DP，就是一个关于x的一元一次方程，直接解方程就得到的DP的长度，进而所有边的长度都可以求得，为了得到A、B、C的坐标，让点R在向量PR的方向上移动AR的距离就得到了A，其余两点类似得出。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
const double PI = acos(-1);
const double eps = 1e-9;
struct Point {
    double x, y;
    Point(double a = 0, double b = 0): x(a), y(b) {}
};
typedef Point Vector;
double dcmp(double x) {
    if (fabs(x) < eps)
        return 0;
    return x < 0 ? -1 : 1;
}
Vector operator + (const Point& A, const Point& B) {
    return Vector(A.x + B.x, A.y + B.y);
}
Vector operator - (const Point& A, const Point& B) {
    return Vector(A.x - B.x, A.y - B.y);
}
Vector operator * (const Point& A, double a) {
    return Vector(A.x * a, A.y * a);
}
Vector operator / (const Point& A, double a) {
    return Vector(A.x / a, A.y / a);
}
double Cross(const Vector& A, const Vector& B) {
    return A.x * B.y - A.y * B.x;
}
double Dot(const Vector& A, const Vector& B) {
    return A.x * B.x + A.y * B.y;
}
double Length(const Vector& A) {
    return sqrt(Dot(A, A));
}
bool operator < (const Point& A, const Point& B) {
    return A.x < B.x || (A.x == B.x && A.y < B.y);
}
bool operator == (const Point& A, const Point& B) {
    return A.x == B.x && A.y == B.y;
}

Point P, Q, R;
double m1, m2, m3, m4, m5, m6; 

int main() {
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while (t--) {
        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &P.x, &P.y, &Q.x, &Q.y, &R.x, &R.y);
        scanf("%lf%lf%lf%lf%lf%lf", &m1, &m2, &m3, &m4, &m5, &m6);
        double RP = Length(P - R);
        double RQ = Length(R - Q);
        double PQ = Length(P - Q);
        double t1 = m1 * RP / (m1 + m2) / RQ; // DP / CQ
        double t2 = m5 * RQ / (m5 + m6) / PQ; // FR / BP
        double t3 = m3 * PQ / (m3 + m4) / RP; // QE / AR
        double t4 = m1 * m3 / (m1 + m2) / m4; // DP / PA
        double t5 = m1 * m5 / (m5 + m6) / m2; // FR / CR
        double t6 = m3 * m5 / (m3 + m4) / m6; // EQ / BQ
        double DP = (t4 * RP + t6 * t4 * PQ / t3 + t6 * t5 * t4 * RQ / t3 / t2) / (1 - t6 * t5 * t4 / t3 / t2 / t1);
        double AR = DP / t4 - RP;
        Point A = R + (R - P) * (AR / RP);
        double BP = t5 / t2 * (DP / t1 + RQ);
        Point B = P + (P - Q) * (BP / PQ);
        double CQ = DP / t1;
        Point C = Q + (Q - R) * (CQ / RQ);
        printf("%.8lf %.8lf %.8lf %.8lf %.8lf %.8lf\n", A.x, A.y, B.x, B.y, C.x, C.y);
    }
    return 0;
}

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